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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie II"'}
    
    {\bf SS 1999 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 10  \hfill 28.~Juni 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\vspace{1ex}
\a
Seien~$X$ und~$Y$ wegzusammenh\"angende topologische R\"aume,
$p\in X$ und~$q\in Y$.
Zeigen Sie, da\ss
	$$\pi_1\bigl(X\times Y,(p,q)\bigr)
		\cong\pi_1(X,p)\times\pi_1(Y,q)\;,$$
wobei unter dem Gruppenisomorphismus
f\"ur eine Schleife~$c=(c_1,c_2)\colon I\to X\times Y$
die Klasse~$[(c_1,c_2)]\in\pi_1\bigl(X\times Y,(p,q)\bigr)$
gerade dem Element~$\bigl([c_1],[c_2]\bigr)\in\pi_1(X,p)\times\pi_1(Y,q)$
entspricht.

\a
Seien~$X$ und~$Y$ wegzusammenh\"angende topologische R\"aume,
$p\in X$ und~$q\in Y$.
Zwei stetige Abbildungen~$f$, $g\colon X\to Y$ mit~$f(p)=g(p)=q$
hei\ss en {\sl homotop\/} (relativ zu~$p$ und~$q$),
falls es eine stetige Abbildung
({\sl Homotopie\/})~$H\colon X\times[0,1]\to Y$ gibt
mit
$$\begin{array}{rrclrcl}
	(i)&\qquad	H(x,0)&=&f(x)\quad	&\forall x&\in& X\;,\\
	(ii)&		H(x,1)&=&g(x)		&\forall x&\in& X\;,\\
	(iii)&		H(p,t)&=&q		&\forall t&\in& [0,1]\;.
\end{array}$$
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Zeigen Sie, da\ss\ f\"ur relativ zu~$p$ und~$q$
homotope Abbildungen~$f$, $g\colon X\to Y$
die induzierten Abbildungen f\"ur die Fundamentalgruppen \"ubereinstimmen:
	$$f_*=g_*\colon\pi_1(X,p)\to\pi_1(Y,q)\;.$$
\end{enumerate}
Man nennt~$(X,p)$ und~$(Y,q)$ {\sl homotopie\"aquivalent,\/}
falls es stetige Abbildungen~$f\colon X\to Y$ und $g\colon Y\to X$ gibt,
so da\ss~$f(p)=q$, $g(q)=p$, $g\circ f$ homotop zu~$\id_X$ (relativ zu~$p$)
und~$f\circ g$ homotop zu~$\id_Y$ (relativ zu~$q$).
\begin{enumerate}[(a)]\setcounter{enumi}{1}
\item
Zeigen Sie, da\ss~$(B^n,0)$ und~$(\{0\},0)$ homotopie\"aquivalent sind,
wobei~$B^n$ der abgeschlossene Ball vom Radius~$1$
mit Mittelpunkt~$0$ im~$\mR^n$ ist.
\item
Zeigen Sie, da\ss\ homotopie\"aquivalente R\"aume isomorphe Fundamentalgruppen
haben.
\end{enumerate}

\newpage

\a
Man nennt eine \"Uberlagerung~$\phi\colon\widetilde M\to M$ {\sl$k$-fach\/}
oder {\sl$k$-bl\"attrig,\/}
falls~$\phi^{-1}(y)$ f\"ur alle~$y\in M$ genau $k$ Elemente enth\"alt,
mit~$k\in\mN$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Konstruieren Sie eine $k$-fache \"Uberlagerung
	$$\phi\colon\widetilde M\to T^n\;.$$
\item
Konstruieren Sie eine zweifache \"Uberlagerung
	$$\phi\colon\widetilde M\to M\;,$$
wobei~$M$ das (abgeschlossene) M\"obiusband ist.
\end{enumerate}
Dabei sei~$\widetilde M$ stets zusammenh\"angend!


\a
Beweisen Sie: $\pi_1(\mR P^n,p)\cong\mZ/2\mZ$ f\"ur~$n\ge 2$.
{\sl Hinweis:\/}
Benutzen Sie Weg- und Homotopieliftungseigenschaft
f\"ur die \"Uberlagerung~$S^n\to\mR P^n$,
sowie die Tatsache, da\ss~$S^n$ f\"ur~$n\ge 2$ einfach zusammenh\"angend ist.
Betrachten Sie die beiden F\"alle,
da\ss\ ein geschlossener Weg in~$\mR P^n$
sich zu einem geschlossenen Weg in~$S^n$ liftet oder nicht.

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  {\bfseries 5.Juli 1999} in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










