Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie II“ SS 1999 bei Prof. C. Bär Blatt 10 28. Juni 1999

1 Seien X und Y wegzusammenhängende topologische Räume, p ∈ X und q ∈ Y. Zeigen Sie,

daß

π_{1}(X × Y, (p, q)) ≅ π_{1}(X, p) × π_{1}(Y, q) ,

wobei unter dem Gruppenisomorphismus für eine Schleife c = (c_{1}, c_{2}): I → X × Y die Klasse [(c_{1}, c_{2})] ∈ π_{1}(X × Y, (p, q)) gerade dem Element ([c_{1}], [c_{2}]) ∈ π_{1}(X, p) × π_{1}(Y, q) entspricht.

2 Seien X und Y wegzusammenhängende topologische Räume, p ∈ X und q ∈ Y. Zwei stetige Abbildungen f, g: X → Y mit f(p) = g(p) = q heißen homotop (relativ zu p und q), falls es eine stetige Abbildung (Homotopie) H: X × [0, 1] → Y gibt mit

\begin{aligned}(i) & H(x, 0) & = & f(x) & ∀x & ∈ & X , \\ (ii) & H(x, 1) & = & g(x) & ∀x & ∈ & X , \\ (iii) & H(p, t) & = & q & ∀t & ∈ & [0, 1] . \end{aligned}

(a) Zeigen Sie, daß für relativ zu p und q homotope Abbildungen f, g: X → Y die induzierten Abbildungen für die Fundamentalgruppen übereinstimmen:

f_{∗} = g_{∗}: π_{1}(X, p) → π_{1}(Y, q) .

Man nennt (X, p) und (Y, q) homotopieäquivalent, falls es stetige Abbildungen f: X → Y und g: Y → X gibt, so daß f(p) = q, g(q) = p, g ∘f homotop zu id_{X} (relativ zu p) und f ∘g homotop zu id_{Y} (relativ zu q).

(b) Zeigen Sie, daß (B^{n}, 0) und ({0}, 0) homotopieäquivalent sind, wobei B^{n} der abgeschlossene Ball vom Radius 1 mit Mittelpunkt 0 im ℝ^{n} ist.

(c) Zeigen Sie, daß homotopieäquivalente Räume isomorphe Fundamentalgruppen haben.

3 Man nennt eine Überlagerung φ: M̃ → M k-fach oder k-blättrig, falls φ^{−1}(y) für alle y ∈ M genau k Elemente enthält, mit k ∈ ℕ.

(a) Konstruieren Sie eine k-fache Überlagerung

φ: M̃ → T^{n} .

(b) Konstruieren Sie eine zweifache Überlagerung

φ: M̃ → M ,

wobei M das (abgeschlossene) Möbiusband ist.

Dabei sei M̃ stets zusammenhängend!

4 Beweisen Sie: π_{1}(ℝP^{n}, p) ≅ ℤ/2ℤ für n ≥ 2. Hinweis: Benutzen Sie Weg- und Homotopieliftungseigenschaft für die Überlagerung S^{n} → ℝP^{n}, sowie die Tatsache, daß S^{n} für n ≥ 2 einfach zusammenhängend ist. Betrachten Sie die beiden Fälle, daß ein geschlossener Weg in ℝP^{n} sich zu einem geschlossenen Weg in S^{n} liftet oder nicht.

Abgabe: Montag, 5.Juli 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo