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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie II"'}
    
    {\bf SS 1999 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 9  \hfill 21.~Juni 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\vspace{1ex}
\a
Sei~$M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, sei~$f\colon M\to\mR$ glatt.
F\"ur~$p\in M$ setzt man
        $$(\Delta f)(p):=-\Spur\,\Hess_pf=-\sum_{i=1}^n\Hess_pf(e_i,e_i)\;,$$
wobei~$e_i$, \dots, $e_n$ eine Orthonormalbasis von~$T_pM$ ist.
Man nennt~$\Delta$ den \emph{Laplace-Operator}.
Zeigen Sie:
Gilt~$\ric\ge(n-1)\kappa\cdot g$ f\"ur~$\kappa\in\mR$,
so erf\"ullt die Abstandsfunktion~$d_p$ auf~$M-\bigl(\{p\}\cup C_p\bigr)$
die Differentialungleichung
        $$\Delta d_p\ge-(n-1)\,\ct_\kappa\circ d_p\;,$$
wobei~$\ct_\kappa={s'_\kappa\over s_\kappa}$.

\a Sei $g$ eine vollst\"andige Riemannsche Metrik auf $\mR^2$ und $K:\mR^2\to \mR$ die 
zugeh\"orige Gau\ss{}-Kr\"ummung. F\"ur $r>0$ sei $B_r$ die euklidische Kreisscheibe 
vom Radius $r$, $B_r=\{(x,y)\in\mR^2\,|\,x^2+y^2<r^2\}$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie:
$$\lim_{r\to \infty}\left(\inf_{q\in \mR^2-B_r} K(q)\right)\leq 0.$$
\item Geben Sie eine vollst\"andige Riemannsche Metrik~$g$ auf $\mR^2$
 mit $K>0$ an und \"uberpr\"ufen Sie (a) in diesem Beispiel.
\end{enumerate}

\a Ein \emph {geod\"atisches Dreieck} in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist ein Tripel $(\ga_1,\ga_2,\ga_3)$ 
von Geod\"atischen $\ga_i:[0,l_i]\to M$ mit $\ga_{i+1}(0) = \ga_i(l_i)$, 
wobei $i$ modulo $3$ zu nehmen ist. Die zugeh\"origen Winkel $\al_1,\al_2,\al_3$ sind gegeben durch 
$\al_i:=\winkel\Bigl(-\dot\ga_{i+1}(l_{i+1}),\dot\ga_{i+2}(0)\Bigr)$.
Bestimmen Sie f\"ur $M=H^2$, $\mR^2$ und $S^2$ mit der jeweiligen Standardmetrik konstanter Kr\"ummung $K=-1$, $0$ 
bzw.\ $1$ das Infimum und das Supremum von 
  $$\left\{\al_1+\al_2+\al_3\,|\,(\al_1,\al_2,\al_3)
    \mbox{ sind die Winkel eines geod\"atischen Dreiecks in } M\right\}.$$ 

\pagebreak
\a Sei $M$ eine vollst\"andige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkr\"ummung $K\geq 0$. 
Sei $\ga_1:[0,\infty)\to M$ ein geod\"atischer Strahl und sei $\ga_2:[0,\infty)\to M$ weitere 
Geod\"atische mit $\ga_2(0)=\ga_1(0)$ und $\winkel(\dot\ga_1(0),\dot\ga_2(0))<\pi/2$. 
Au\ss{}erdem wollen wir annehmen, da\ss{} jede Geod"atische, die durch den Punkt 
$\ga_1(0)$ geht, keine konjugierten Punkte besitzt.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie:
  $$\lim_{t\to \infty} d\Bigl(\ga_2(0),\ga_2(t)\Bigr)=\infty.$$
\emph{Hinweis:} Verbinden Sie $\ga_1$ und $\ga_2$ durch eine geeignete geod\"atische Variation 
und wenden Sie einen Rauchschen Vergleichssatz auf die resultierenden Jacobifelder an.
\item Gilt (a) auch noch im Fall $\winkel\Bigl(\dot\ga_1(0),\dot\ga_2(0)\Bigr)=\pi/2$?
\end{enumerate}

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  {\bfseries 28.\ Juni 1999} in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










