Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie II“ SS 1999 bei Prof. C. Bär Blatt 9 21. Juni 1999

1 Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, sei f: M → ℝ glatt. Für p ∈ M setzt man

(Δf)(p) := −Spur Hess_{p}f = − ∑_{i=1}^{n} Hess_{p}f(e_{i}, e_{i}) ,

wobei e_{i}, …, e_{n} eine Orthonormalbasis von T_{p}M ist. Man nennt Δ den Laplace-Operator. Zeigen Sie: Gilt ric ≥ (n − 1)κ · g für κ ∈ ℝ, so erfüllt die Abstandsfunktion d_{p} auf M − ({p} ∪ C_{p}) die Differentialungleichung

Δd_{p} ≥ −(n − 1) ct_{κ} ∘ d_{p} ,

wobei ct_{κ} = \frac{s′_{κ}}{s_{κ}}.

2 Sei g eine vollständige Riemannsche Metrik auf ℝ^{2} und K : ℝ^{2} → ℝ die zugehörige Gauß-Krümmung. Für r > 0 sei B_{r} die euklidische Kreisscheibe vom Radius r, B_{r} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} < r^{2}}.

(a) Zeigen Sie:

lim_{r→∞} ( inf_{q∈ℝ^{2}−B_{r}} K(q)) ≤ 0.

(b) Geben Sie eine vollständige Riemannsche Metrik g auf ℝ^{2} mit K > 0 an und überprüfen Sie (a) in diesem Beispiel.

3 Ein geodätisches Dreieck in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist ein Tripel (γ_{1}, γ_{2}, γ_{3}) von Geodätischen γ_{i} : [0, l_{i}] → M mit γ_{i+1}(0) = γ_{i}(l_{i}), wobei i modulo 3 zu nehmen ist. Die zugehörigen Winkel α_{1}, α_{2}, α_{3} sind gegeben durch α_{i} := ∡(−γ̇_{i+1}(l_{i+1}), γ̇_{i+2}(0)). Bestimmen Sie für M = H^{2}, ℝ^{2} und S^{2} mit der jeweiligen Standardmetrik konstanter Krümmung K = −1, 0 bzw. 1 das Infimum und das Supremum von

{α_{1} + α_{2} + α_{3} | (α_{1}, α_{2}, α_{3}) sind die Winkel eines geodätischen Dreiecks in M} .

4 Sei M eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung K ≥ 0. Sei γ_{1} : [0, ∞) → M ein geodätischer Strahl und sei γ_{2} : [0, ∞) → M weitere Geodätische mit γ_{2}(0) = γ_{1}(0) und ∡(γ̇_{1}(0), γ̇_{2}(0)) < π/2. Außerdem wollen wir annehmen, daß jede Geodätische, die durch den Punkt γ_{1}(0) geht, keine konjugierten Punkte besitzt.

(a) Zeigen Sie:

lim_{t→∞} d(γ_{2}(0), γ_{2}(t)) = ∞.

Hinweis: Verbinden Sie γ_{1} und γ_{2} durch eine geeignete geodätische Variation und wenden Sie einen Rauchschen Vergleichssatz auf die resultierenden Jacobifelder an.

(b) Gilt (a) auch noch im Fall ∡(γ̇_{1}(0), γ̇_{2}(0)) = π/2?

Abgabe: Montag, 28. Juni 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo