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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie II"'}
    
    {\bf SS 1999 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 8  \hfill 14.~Juni 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\vspace{1ex}
\a
Der reell-projektive Raum~$\mR P^n$, $n\geq2$, trage die Standardmetrik
konstanter Schnittkr\"ummung~$1$.
Sei~$p\in\mR P^n$.

Zeigen Sie,
da\ss~$C_p$ eine Untermannigfaltigkeit isometrisch zu~$\mR P^{n-1}$ ist.
Vergleichen Sie~$\injrad(p)$ mit~$\diam(\mR P^n)$.

\a Seien $M$ und $N$ vollst\"andige Riemannsche Mannigfaltigkeiten, seien $p\in M$ und $q\in N$.
Zeigen Sie, da\ss{} der Schnittort von $(p,q)\in M\times N$ gegeben ist durch
  $$C_{(p,q)}=\left(C_p\times N\right)\cup\left(M\times C_q\right).$$

\a
Sei~$M$ eine vollst\"andige zusammenh\"angende Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Sei~$p\in M$.\\
Wir definieren~$d_p\colon M\to\mR$ durch~$d_p(q):=d(p,q)$.
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item
$d_p$ ist~$C^\infty$ auf~$M\setminus(\{p\}\cup C_p)$, und dort gilt
	$$\norm{\grad\,d_p}=1\;.$$
\item
Die Funktion~$f={1\over 2}d_p^{\,2}$ ist~$C^\infty$ auf~$M\setminus C_p$,
und dort gilt
	$$\norm{\grad\,f}=d_p\;.$$
\end{enumerate}

\a
Sei $c: [0,\pi]\to S^2$, $c(t)=(\cos t, \sin t, 0)$, ein Halbkreis, 
der den Nordpol $p=(1,0,0)$ und den S\"udpol $q=(-1,0,0)$ 
verbindet. Setze $A:=\Bild(c)\subset S^2$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie: Es gibt eine $C^\infty$-Funktion $f:S^2\to \mR$ mit
\begin{itemize}
\item $f\geq 1$ \"uberall
\item $f(x)=1$ genau dann, wenn $x\in A$
\item In allen Punkten $x\in A$ verschwinden die ersten und zweiten 
Ableitungen von $f$ (bez\"uglich beliebiger lokaler Koordinaten).
\end{itemize}
\emph{Hinweis}: Zeigen Sie die Aussage zun\"achst f\"ur $A'$ statt f\"ur $A$, 
wobei $A'$ ein ganzer Gro\ss{}kreis ist. 
\item Sei $g_0$ die Standardmetrik von $S^2$. Wir definieren eine 
neue Riemannsche Metrik durch $g:=f\cdot g_0$.
Zeigen Sie, da\ss{} bez\"uglich $g$ der Halbkreis $c$ \textbf{eindeutige} 
K\"urzeste von $p$ nach $q$ ist und da\ss{} $\pi$ konjugiert zu $0$ ist 
l\"angs $c$. \emph{Hinweis}: Sei d\"urfen die Formeln aus Kapitel~1, Abschnitt~J, 
im Buch von A.L.\ Besse, \emph{Einstein Manifolds}, benutzen.
\end{enumerate}
\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  {\bfseries 21.\ Juni 1999} in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










