Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie II“ SS 1999 bei Prof. C. Bär Blatt 8 14. Juni 1999

1 Der reell-projektive Raum ℝP^{n}, n ≥ 2, trage die Standardmetrik konstanter Schnittkrümmung 1. Sei p ∈ ℝP^{n}. Zeigen Sie, daß C_{p} eine Untermannigfaltigkeit isometrisch zu ℝP^{n−1} ist. Vergleichen Sie injrad(p) mit diam(ℝP^{n}).

2 Seien M und N vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten, seien p ∈ M und q ∈ N. Zeigen Sie, daß der Schnittort von (p, q) ∈ M × N gegeben ist durch

C_{(p,q)} = (C_{p} × N) ∪ (M × C_{q}) .

3 Sei M eine vollständige zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit. Sei p ∈ M. Wir definieren d_{p}: M → ℝ durch d_{p}(q) := d(p, q). Zeigen Sie:

(a) d_{p} ist C^{∞} auf M \ ({p} ∪ C_{p}), und dort gilt

∥grad d_{p}∥ = 1 .

(b) Die Funktion f = \frac{1}{2}d_{p}^{2} ist C^{∞} auf M \ C_{p}, und dort gilt

∥grad f∥ = d_{p} .

4 Sei c : [0, π] → S^{2}, c(t) = (cos t, sin t, 0), ein Halbkreis, der den Nordpol p = (1, 0, 0) und den Südpol q = (−1, 0, 0) verbindet. Setze A := Bild(c) ⊂ S^{2}.

(a) Zeigen Sie: Es gibt eine C^{∞}-Funktion f : S^{2} → ℝ mit

• f ≥ 1 überall

• f(x) = 1 genau dann, wenn x ∈ A

• In allen Punkten x ∈ A verschwinden die ersten und zweiten Ableitungen von f (bezüglich beliebiger lokaler Koordinaten).

Hinweis: Zeigen Sie die Aussage zunächst für A′ statt für A, wobei A′ ein ganzer Großkreis ist.

(b) Sei g_{0} die Standardmetrik von S^{2}. Wir definieren eine neue Riemannsche Metrik durch g := f · g_{0}. Zeigen Sie, daß bezüglich g der Halbkreis c eindeutige Kürzeste von p nach q ist und daß π konjugiert zu 0 ist längs c. Hinweis: Sei dürfen die Formeln aus Kapitel 1, Abschnitt J, im Buch von A.L. Besse, Einstein Manifolds, benutzen.

Abgabe: Montag, 21. Juni 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo