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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie II"'}
    
    {\bf SS 1999 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 7  \hfill 7.~Juni 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\vspace{1ex}
\a Sei $M=S^2$ mit der Standardmetrik. Berechnen Sie 
  $$\int_{S^2} f(x)\,\dvol (x) \quad \mbox{und} \quad \int_{S^2} f(x)^2\,\dvol(x),$$
wobei $f(x^1,x^2,x^3)=x^1$, $x=(x^1,x^2,x^3)\in S^2\subset \mR^3$.

\a Sei $f:[a,b]\to\mR\times \mR^+$, $(f(t)=f_1(t),f_2(t))$ 
eine Parametrisierung einer injektiven regul\"aren Kurve.
Die \emph{Drehfl\"ache}
  $$M_f:=\{(f_1(t),f_2(t) \sin(s), f_2(t)\cos(s)) \,|\, t\in [a,b], s\in \mR\}$$  
ist eine Untermannigfaltigkeit von $\mR^3$ und trage die induzierte Metrik.

Weiterhin sei $\Om$ ein Gebiet in $\mR^2$ und $h:\Om\to \mR$ eine glatte Funktion. Der \emph{Graph}
  $$N_h:=\{(x,y,h(x,y))\,|\,(x,y)\in \Om\}$$
ist ebenfalls eine Untermannigfaltigkeit und trage die induzierte Metrik.

Berechnen Sie $\vol(M_f)$ und $\vol(N_h)$.

\a Konstruieren Sie f\"ur alle $n\geq 2$ eine vollst\"andige, nicht kompakte, $n$-dimensionale 
Riemannsche Mannigfaltigkeit $M$ mit $\vol(M)< \infty$.

\a Berechnen Sie $\vol(S^n)$, wobei $S^n$ die Standardmetrik tr\"agt.


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\vspace\fill
Abgabe: Montag,  {\bfseries 14.\ Juni 1999} in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










