Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie II“ SS 1999 bei Prof. C. Bär Blatt 7 7. Juni 1999

1 Sei M = S^{2} mit der Standardmetrik. Berechnen Sie

∫_{S^{2}} f(x) dvol(x) und ∫_{S^{2}} f(x)^{2} dvol(x),

wobei f(x^{1}, x^{2}, x^{3}) = x^{1}, x = (x^{1}, x^{2}, x^{3}) ∈ S^{2} ⊂ ℝ^{3}.

2 Sei f : [a, b] → ℝ×ℝ^{+}, (f(t) = f_{1}(t), f_{2}(t)) eine Parametrisierung einer injektiven regulären Kurve. Die Drehfläche

M_{f} := {(f_{1}(t), f_{2}(t) sin(s), f_{2}(t) cos(s)) | t ∈ [a, b], s ∈ ℝ}

ist eine Untermannigfaltigkeit von ℝ^{3} und trage die induzierte Metrik. Weiterhin sei Ω ein Gebiet in ℝ^{2} und h : Ω → ℝ eine glatte Funktion. Der Graph

N_{h} := {(x, y, h(x, y)) | (x, y) ∈ Ω}

ist ebenfalls eine Untermannigfaltigkeit und trage die induzierte Metrik. Berechnen Sie vol(M_{f}) und vol(N_{h}).

3 Konstruieren Sie für alle n ≥ 2 eine vollständige, nicht kompakte, n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit M mit vol(M) < ∞.

4 Berechnen Sie vol(S^{n}), wobei S^{n} die Standardmetrik trägt.

Abgabe: Montag, 14. Juni 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo