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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie II"'}
    
    {\bf SS 1999 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 6  \hfill 17.~Mai 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\vspace{1ex}

\a Sei $\na$ der Levi-Civita-Zusammenhang auf einer semi-Riemannschen 
Mannigfaltigkeit. Sei $s$ der durch lokale Koordinaten $x^1,\dots,x^n$ 
gegebene lokale Rahmen von $TM$. Dr\"ucken Sie die 
Kr\"ummungsform~$\Om$ von $\na$ bez\"uglich $s$ durch die 
Komponenten~$R_{kij}^l$ des Riemannschen Kr\"ummungstensors bez\"uglich der 
Koordinaten $x^1,\dots,x^n$ aus.

\a Sei $G\subset \Mat(N\times N,\mK)$ eine abgeschlossene Untergruppe.
Zeigen Sie, da\ss{} falls $G$ abelsch ist, die Lie-Klammer $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$
auf $\gothg$ verschwindet.

\a Berechnen Sie 
\begin{enumerate}[(a)]
\item 
auf dem euklidischen Raum $\mR^3$ mit positiv orientierten kartesischen Koordinaten $x,y,z$:
  $$\mathrel{*}d*(xyz\,dx),\quad d*d* \left(\sinh (x) \,dx\wedge dy\right),$$
  $$\mathrel{*}d*d*\left(\sin \left(\cos\left(\sinh\left(\cosh\left(\log\left(1+x^2\right)\right)\right)\right)\right)\right).$$ 
\item auf dem $4$-dimensionalen Minkowski-Raum $\mR^4$ mit positiv orientierten 
Koordinaten~$t,x,y,z$, bez\"uglich derer die Metrik die Gestalt  
$g=-dt\otimes dt + dx\otimes dx + dy \otimes dy + dz\otimes dz$ hat:
  $$*\left(d(x\,dy\wedge dz)\wedge dt\right), \quad \mathrel{*}d*^3\left(e^{x^2+y^2+z^2}\cdot dt\wedge dx\right),$$
  $$\mathrel{*}d*d(xyzt).$$
\end{enumerate}

\a Es trage $S^2$ die Standardmetrik konstanter Schnittkr\"ummung~$1$.
Sei $E\to\mC P^1=S^2$ das tautologische komplexe Geradenb\"undel.
Wir nennen einen lokalen glatten Schnitt $s$ in $E$ \emph{normiert},
falls f\"ur alle $p$ aus dem Definitionsbereich gilt 
  $$s(p)=(p,v(p))\in \mC P^1\times \mC^2\qquad\mbox{mit}\quad \|v(p)\|=1.$$ 
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie, da\ss{} die normierten glatten Schnitte in $E$ eine $U(1)$-Struktur auf 
$E$ bilden.
\item F\"ur einen Schnitt $s$ in $E$, $s(p)=(p,v(p))$, definieren wir 
$\na_Xs:= \left(p,\<\pa_X v,p\>\cdot p\right)$ f\"ur $X\in T_p\mC P^1$.
Zeigen Sie, da\ss{} $\na$ ein $U(1)$-Zusammenhang auf $E$ ist.
\item Sei $\Om$ die Kr\"ummungsform von $\na$ bez\"uglich eines lokalen $U(1)$-Rahmens.
Zeigen Sie, da\ss{} $\Om$ \"uberhaupt nicht von der Wahl des Rahmens abh\"angt und damit
eine auf ganz $S^2$ wohldefinierte $i\cdot\mR$-wertige $2$-Form bildet.
\item Berechnen Sie $\int_{S^2} {1\over i}\,\Om$.


\end{enumerate}
\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  {\bfseries 7.\ Juni 1999} in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










