Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie II“ SS 1999 bei Prof. C. Bär Blatt 6 17. Mai 1999

1 Sei ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang auf einer semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit. Sei s der durch lokale Koordinaten x^{1}, …, x^{n} gegebene lokale Rahmen von T M. Drücken Sie die Krümmungsform Ω von ∇ bezüglich s durch die Komponenten R_{kij}^{l} des Riemannschen Krümmungstensors bezüglich der Koordinaten x^{1}, …, x^{n} aus.

2 Sei G ⊂ Mat(N × N, 𝕂) eine abgeschlossene Untergruppe. Zeigen Sie, daß falls G abelsch ist, die Lie-Klammer [ · , ·] auf 𝔤 verschwindet.

3 Berechnen Sie

(a) auf dem euklidischen Raum ℝ^{3} mit positiv orientierten kartesischen Koordinaten x, y, z:

∗ d ∗ (xyz dx), d ∗ d ∗ (sinh(x) dx ∧ dy) ,
∗ d ∗ d ∗ (sin (cos (sinh (cosh (log (1 + x^{2})))))) .

(b) auf dem 4-dimensionalen Minkowski-Raum ℝ^{4} mit positiv orientierten Koordinaten t, x, y, z, bezüglich derer die Metrik die Gestalt g = −dt ⊗ dt + dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz hat:

∗ (d(x dy ∧ dz) ∧ dt) , ∗ d ∗^{3} (e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} · dt ∧ dx) ,
∗ d ∗ d(xyzt).

4 Es trage S^{2} die Standardmetrik konstanter Schnittkrümmung 1. Sei E → ℂP^{1} = S^{2} das tautologische komplexe Geradenbündel. Wir nennen einen lokalen glatten Schnitt s in E normiert, falls für alle p aus dem Definitionsbereich gilt

s(p) = (p, v(p)) ∈ ℂP^{1} × ℂ^{2} mit ∥v(p)∥ = 1.

(a) Zeigen Sie, daß die normierten glatten Schnitte in E eine U(1)-Struktur auf E bilden.

(b) Für einen Schnitt s in E, s(p) = (p, v(p)), definieren wir ∇_{X}s := (p, ⟨∂_{X}v, p⟩ · p) für X ∈ T_{p}ℂP^{1}. Zeigen Sie, daß ∇ ein U(1)-Zusammenhang auf E ist.

(c) Sei Ω die Krümmungsform von ∇ bezüglich eines lokalen U(1)-Rahmens. Zeigen Sie, daß Ω überhaupt nicht von der Wahl des Rahmens abhängt und damit eine auf ganz S^{2} wohldefinierte i · ℝ-wertige 2-Form bildet.

(d) Berechnen Sie ∫_{S^{2}} \frac{1}{i} Ω.

Abgabe: Montag, 7. Juni 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo