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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie II"'}
    
    {\bf SS 1999 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 5  \hfill 10.~Mai 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\vspace{1ex}
\textbf{\"Ubungsgruppe:} \newline
dienstags, 13--15 Uhr, SR~218, Eckerstr.~1\newline

\a Sei $\om=z\,dx\wedge dy + x\,dy\wedge dz + y\,dz\wedge dx \in \Om^2(\mR^3)$, sei 
$\iota:S^2\einbett \mR^3$ die Inklusionsabbildung, und sei $\om_0=\iota^*\om \in\Om^2(S^2)$.
Berechnen Sie 
  $$\int_{S^2}\om_0.$$

\a Sei $M$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit-mit-Rand. 
Zeigen Sie, da\ss{} $M$ genau dann orien\-tier\-bar ist, wenn das Geradenb\"undel 
$\bigwedge^nT^*M$ trivial ist.

\a Sei $M$ eine kompakte orientierbare $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
(ohne Rand). Sei $\om\in\Om^{n-1}(M)$. Zeigen Sie, da\ss{} $d\om$ eine Nullstelle hat, 
\dh es gibt einen Punkt $p\in M$ mit $d\om(p)=0$.

\a Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $f:M\to \mR$ glatt.
Sei $0$ ein regul\"arer Wert von~$f$. Zeigen Sie, da\ss{} $N:=\left\{x\in M \,\big|\, f(x)\geq 0\right\}$ 
eine Mannigfaltigkeit-mit-Rand ist und $\pa N=\left\{x\in M \,\big|\, f(x)= 0\right\}$.

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  17.\ Mai 1999 in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










