Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie II“ SS 1999 bei Prof. C. Bär Blatt 5 10. Mai 1999

Übungsgruppe: dienstags, 13–15 Uhr, SR 218, Eckerstr. 1

1 Sei ω = z dx ∧ dy + x dy ∧ dz + y dz ∧ dx ∈ Ω^{2}(ℝ^{3}), sei ι : S^{2} ↪ ℝ^{3} die Inklusionsabbildung, und sei ω_{0} = ι^{∗}ω ∈ Ω^{2}(S^{2}). Berechnen Sie

∫_{S^{2}} ω_{0}.

2 Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit-mit-Rand. Zeigen Sie, daß M genau dann orientierbar ist, wenn das Geradenbündel ⋀^{n} T^{∗}M trivial ist.

3 Sei M eine kompakte orientierbare n-dimensionale Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Sei ω ∈ Ω^{n−1}(M). Zeigen Sie, daß dω eine Nullstelle hat, d. h. es gibt einen Punkt p ∈ M mit dω(p) = 0.

4 Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, f : M → ℝ glatt. Sei 0 ein regulärer Wert von f. Zeigen Sie, daß N := {x ∈ M | f(x) ≥ 0} eine Mannigfaltigkeit-mit-Rand ist und ∂N = {x ∈ M | f(x) = 0}.

Abgabe: Montag, 17. Mai 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo