\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{german}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{epsfig}

\pagestyle{empty}
\addtolength{\topmargin}{-1.7cm}
\addtolength{\textheight}{3cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1.0cm}
\addtolength{\textwidth}{2.7cm}
\addtolength{\leftmargini}{-0.5cm}
\addtolength{\leftmarginii}{-0.2cm}
\parskip0.5ex
\parindent0em
\frenchspacing
\sloppy

\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie II"'}
    
    {\bf SS 1999 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 4  \hfill 3.~Mai 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\vspace{1ex}
\textbf{\"Ubungsgruppe:} \newline
dienstags, 13--15 Uhr, SR~218, Eckerstr.~1\newline

\a Geben Sie einen nicht flachen Zusammenhang auf einem reellen Geradenb\"undel an.

\a Pr\"azisieren und beweisen Sie die folgende Aussage:
Die \"au\ss{}ere Ableitung von $0$-Formen $\in\Om^0(\mR^3)$ entspricht dem Gradienten,
die von $1$-Formen $\in\Om^1(\mR^3)$ der Rotation und
die von $2$-Formen $\in\Om^2(\mR^3)$ der Divergenz.

\a
Sei $E\to M$ ein reelles Vektorb\"undel. Wir wissen bereits,
da\ss{} lokal stets ein sogenannter \emph{Rahmen} exisiert, \dh ein 
Tupel $s=(s_1,\dots,s_N)$ glatter Schnitte, die in jedem Punkt $x$ aus dem Definitionsbereich eine Basis von $E_x$ bilden. Zu einem Zusammenhang $\na$ auf $E$ und einem Rahmen $s$, 
definiert auf $U\subset M$, definiere $\om_i^j$ durch 
  $$\na_Xs_i = \sum_{j=1}^N \om_i^j(X)s_j.$$

Zeigen Sie
\begin{enumerate}[(a)]
\item Die $\om_i^j$
sind glatte $1$-Formen auf $U$. Bem.: Die matrixwertige $1$-Form $\om=(\om_i^j)_{i,j=1,\dots,N}$
hei\ss{}t \emph{Zusammenhangsform} von $\na$ bez\"uglich $s$.
\item Ist $\ti s$ ein anderer Rahmen, definiert auf $U$, $s_i=\sum_j \al_i^j \ti s_j$, 
$\al=(\al_i^j): U \to \GL(N)$ glatt, so gilt f\"ur die zugeh\"orige Zusammenhangsform
  $$\ti\om(X)= -\al^{-1}\cdot \pa_X\al + \al^{-1}\cdot \om(X)\cdot \al,\qquad \forall X\in TU.$$
\item Was hat, im Falle des Levi-Civita-Zusammenhangs auf $TM$, 
die Zusammanhangsform mit den Christoffelsymbolen zu tun?
\item Es gilt
  $$\na_X\left(\sum_{i=1}^N f_i s_i\right) 
     = \sum_{i=1}^N\left(\pa_X f_i + \sum_{j=1}^N f_j \om_j^i(X) \right) s_i$$
und $\na$ ist auf $U$ durch $\om$ eindeutig festgelegt.
\end{enumerate}

\pagebreak
\a Seien $E_1\to M$ und $E_2\to N$ reelle Vektorb\"undel, sei $f:M\to N$
glatt und sei $F:E_1\to E_2$ ein Vektorb\"undelhomomorphismus \"uber $f$, der faserweise 
ein linearer Isomorphismus sein soll.
Sei ferner $\na$ ein Zusammenhang auf $E_2$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie: Es gibt genau einen Zusammenhang $F^*\na$ auf $E_1$, \sd f\"ur alle 
$X\in TM$ und $s\in C^\infty(M,E_2)$ gilt
  $$\left(F^*\na\right)_X{(F^{-1}\circ s \circ f)} = F^{-1}\na_{df(X)}s.$$
\item Ist $s=(s_1,\dots,s_N)$ ein lokaler Rahmen von $E_2$ auf $U\subset N$, 
so ist 
  $$t=({F^{-1}\circ s_1\circ f,} \dots, F^{-1}\circ s_N\circ f)$$
ein lokaler Rahmen von $E_1$ auf $f^{-1}(U)$. 
Sei $\om_2$ die Zusammenhangsform von $\na$ bez\"uglich $s$ und $\om_1$ diejenige von $F^*\na$
bez\"uglich $t$.
Zeigen Sie 
  $$\om_1 = f^* \om_2,$$
\dh $\om_{1,i}^{\phantom{1,}j}= f^*\om_{2,i}^{\phantom{2,}j}$.
\end{enumerate}
Hinweis: Beweisen Sie zun\"achst die Eindeutigkeit in (a) und die Aussage (b), 
anschlie\ss{}end die Existenz in (a). 

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  10.\ Mai 1999 in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










