Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie II“ SS 1999 bei Prof. C. Bär Blatt 4 3. Mai 1999

Übungsgruppe: dienstags, 13–15 Uhr, SR 218, Eckerstr. 1

1 Geben Sie einen nicht flachen Zusammenhang auf einem reellen Geradenbündel an.

2 Präzisieren und beweisen Sie die folgende Aussage: Die äußere Ableitung von 0-Formen ∈ Ω^{0}(ℝ^{3}) entspricht dem Gradienten, die von 1-Formen ∈ Ω^{1}(ℝ^{3}) der Rotation und die von 2-Formen ∈ Ω^{2}(ℝ^{3}) der Divergenz.

3 Sei E → M ein reelles Vektorbündel. Wir wissen bereits, daß lokal stets ein sogenannter Rahmen exisiert, d. h. ein Tupel s = (s_{1}, …, s_{N}) glatter Schnitte, die in jedem Punkt x aus dem Definitionsbereich eine Basis von E_{x} bilden. Zu einem Zusammenhang ∇ auf E und einem Rahmen s, definiert auf U ⊂ M, definiere ω_{i}^{j} durch

∇_{X}s_{i} = ∑_{j=1}^{N} ω_{i}^{j}(X)s_{j}.

Zeigen Sie

(a) Die ω_{i}^{j} sind glatte 1-Formen auf U. Bem.: Die matrixwertige 1-Form ω = (ω_{i}^{j})_{i,j=1,...,N} heißt Zusammenhangsform von ∇ bezüglich s.

(b) Ist s̃ ein anderer Rahmen, definiert auf U, s_{i} = ∑_{j} α_{i}^{j}s̃_{j}, α = (α_{i}^{j}) : U → GL(N) glatt, so gilt für die zugehörige Zusammenhangsform

ω̃(X) = −α^{−1} · ∂_{X}α + α^{−1} · ω(X) · α, ∀X ∈ T U.

(c) Was hat, im Falle des Levi-Civita-Zusammenhangs auf T M, die Zusammanhangsform mit den Christoffelsymbolen zu tun?

(d) Es gilt

∇_{X} (∑_{i=1}^{N} f_{i}s_{i}) = ∑_{i=1}^{N} (∂_{X}f_{i} + ∑_{j=1}^{N} f_{j}ω_{j}^{i}(X)) s_{i}

und ∇ ist auf U durch ω eindeutig festgelegt.

4 Seien E_{1} → M und E_{2} → N reelle Vektorbündel, sei f : M → N glatt und sei F : E_{1} → E_{2} ein Vektorbündelhomomorphismus über f, der faserweise ein linearer Isomorphismus sein soll. Sei ferner ∇ ein Zusammenhang auf E_{2}.

(a) Zeigen Sie: Es gibt genau einen Zusammenhang F^{∗}∇ auf E_{1}, s. d. für alle X ∈ T M und

s ∈ C^{∞}(M, E_{2}) gilt

(F^{∗}∇)_{X} (F^{−1} ∘ s ∘ f) = F^{−1}∇_{df(X)}s.

(b) Ist s = (s_{1}, …, s_{N}) ein lokaler Rahmen von E_{2} auf U ⊂ N, so ist

t = (F^{−1} ∘ s_{1} ∘ f, …, F^{−1} ∘ s_{N} ∘ f)

ein lokaler Rahmen von E_{1} auf f^{−1}(U). Sei ω_{2} die Zusammenhangsform von ∇ bezüglich s und ω_{1} diejenige von F^{∗}∇ bezüglich t. Zeigen Sie

ω_{1} = f^{∗}ω_{2},

d. h. ω_{1,i}^{j} = f^{∗}ω_{2,i}^{j}.

Hinweis: Beweisen Sie zunächst die Eindeutigkeit in (a) und die Aussage (b), anschließend die Existenz in (a).

Abgabe: Montag, 10. Mai 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo