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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie II"'}
    
    {\bf SS 1999 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 3  \hfill  26.\ April 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\vspace{1ex}
\textbf{\"Ubungsgruppe:} \newline
dienstags, 13--15 Uhr, SR~218, Eckerstr.~1\newline

\a Sei $E\to \mR P^1$ das tautologische Geradenb\"undel. 
Zeigen Sie, da\ss{} $E\oplus E \to \mR P^1$ trivial ist.

\a Sei $\pi:E\to M$ ein Vektorb\"undel und $f:N\to M$ eine 
glatte Abbildung. Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item Der Totalraum des zur\"uckgezogenen B\"undels $f^*E\to N$
ist diffeomorph zur Untermannigfaltigkeit 
$\Bigl\{(p,v)\in N\times E\,\bigm|\,\pi(v)=f(p)\Bigr\}$ von $N\times E$.
\item Es gibt einen Vektorb\"undelhomomorphismus $F:f^*E\to E$
\"uber $f$, der faserweise ein Isomorphismus ist.
\end{enumerate}

\a Sei $\witi E\subset E\to M$ ein Untervektorb\"undel. 
Konstruieren Sie mittels Proposition~4.11 die Mannigfaltigkeitsstruktur auf 
  $$E/\witi E := \bigcup_{p\in M} E_p/ \witi{E}_p,$$
die $E/\witi E\to M$ zu dem Quotientenb\"undel macht.

\a Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. 
Zeigen Sie, da\ss{} $M$ genau dann eine Lorentz-Metrik besitzt, wenn es Untervektorb\"undel $E,L\subset TM$ des Tangentialb\"undels gibt mit  
  $$TM=E\oplus L\qquad \mbox{und}\qquad \rang (L)=1.$$
\emph{Hinweis:} $L$ entspricht der zeitlichen Richtung, $E$ den r\"aumlichen.

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  3.\ Mai 1999 in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










