Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie II“ SS 1999 bei Prof. C. Bär Blatt 3 26. April 1999

Übungsgruppe: dienstags, 13–15 Uhr, SR 218, Eckerstr. 1

1 Sei E → ℝP^{1} das tautologische Geradenbündel. Zeigen Sie, daß E ⊕ E → ℝP^{1} trivial ist.

2 Sei π : E → M ein Vektorbündel und f : N → M eine glatte Abbildung. Zeigen Sie:

(a) Der Totalraum des zurückgezogenen Bündels f^{∗}E → N ist diffeomorph zur Untermannigfaltigkeit {(p, v) ∈ N × E | π(v) = f(p)} von N × E.

(b) Es gibt einen Vektorbündelhomomorphismus F : f^{∗}E → E über f, der faserweise ein Isomorphismus ist.

3 Sei Ẽ ⊂ E → M ein Untervektorbündel. Konstruieren Sie mittels Proposition 4.11 die

Mannigfaltigkeitsstruktur auf

E/Ẽ := ⋃_{p∈M} E_{p}/Ẽ_{p},

die E/Ẽ → M zu dem Quotientenbündel macht.

4 Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, daß M genau dann eine Lorentz-Metrik besitzt, wenn es Untervektorbündel E, L ⊂ T M des Tangentialbündels gibt mit

T M = E ⊕ L und Rang (L) = 1.

Hinweis: L entspricht der zeitlichen Richtung, E den räumlichen.

Abgabe: Montag, 3. Mai 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo