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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie II"'}
    
    {\bf SS 1999 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 2  \hfill  19.\ April 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\vspace{1ex}
\textbf{\"Ubungsgruppe:} \newline
dienstags, 13--15 Uhr, SR~218, Eckerstr.~1\newline

\textbf{Ausnahme}\newline
\"Ubungsgruppe diese Woche verlegt auf Freitag, 23.4.1999, 14 Uhr (c.t.), SR~403, Eckerstr.~1\newline
ab 27.4. dann wieder dienstags\par

\a
Sei~$N$ eine vollst\"andige Riemannsche Mannigfaltigkeit und $M\subset N$ 
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Zeigen Sie, da\ss{} $M$ mit der 
induzierten Riemannschen Metrik (1.~Fundamentalform) ebenfalls vollst\"andig
ist.

\a 
Weisen Sie die Vollst\"andigkeit des $n$-dimensionalen hyperbolischen Raumes 
nach.

\a 
Sei $M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Eine Geod\"atische 
$\ga:[0,\infty)\to M$ mit $\dot\ga(0)\neq 0$ hei\ss{}t
\emph{geod\"atischer Strahl}, falls f\"ur alle $t\geq 0$ gilt 
  $$d\bigl(\ga(0),\ga(t)\bigr) = L\bigl[\res{\ga}{[0,t]}\bigr].$$
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item Der geod\"atische Strahl ist die k\"urzeste Verbindung von je zwei 
seiner Punkte, \dh
  $$d\bigl(\ga(s),\ga(t)\bigr) = L\bigl[\res{\ga}{[s,t]}\bigr]\qquad \forall t\geq s\geq 0.$$
\item Ist $M$ vollst\"andig und nicht kompakt, so gibt es zu jedem Punkt $p\in M$ einen geod\"atischen Strahl mit $\ga(0)=p$.
\item Ist $M$ kompakt, so gibt es keine geod\"atischen Strahlen.
\end{enumerate}

\a Seien $M$ und $N$ Riemannsche Mannigfaltigkeiten, und sei $f:M\to N$ ein
Diffeomorphismus. Es gebe eine Konstante $C>0$, so da\ss{} f\"ur alle 
$p\in M$ und $X\in T_pM$ gilt:
  $$\|d_pf(X)\| \leq C\cdot \|X\|.$$
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie: Ist $N$ vollst\"andig, so auch $M$.
\item Geben Sie ein Beispiel, in dem $M$ vollst\"andig ist, aber $N$ nicht.
\end{enumerate}

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  26.\ April 1999 in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










