Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie II“ SS 1999 bei Prof. C. Bär Blatt 2 19. April 1999

Übungsgruppe: dienstags, 13–15 Uhr, SR 218, Eckerstr. 1

Ausnahme Übungsgruppe diese Woche verlegt auf Freitag, 23.4.1999, 14 Uhr (c.t.), SR 403, Eckerstr. 1 ab 27.4. dann wieder dienstags

1 Sei N eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit und M ⊂ N eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Zeigen Sie, daß M mit der induzierten Riemannschen Metrik (1. Fundamentalform) ebenfalls vollständig ist.

2 Weisen Sie die Vollständigkeit des n-dimensionalen hyperbolischen Raumes nach.

3 Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Eine Geodätische γ : [0, ∞) → M mit γ̇(0) ≠ 0 heißt geodätischer Strahl, falls für alle t ≥ 0 gilt

d(γ(0), γ(t)) = L[γ|_{[0,t]}].

Zeigen Sie:

(a) Der geodätische Strahl ist die kürzeste Verbindung von je zwei seiner Punkte, d. h.

d(γ(s), γ(t)) = L[γ|_{[s,t]}] ∀t ≥ s ≥ 0.

(b) Ist M vollständig und nicht kompakt, so gibt es zu jedem Punkt p ∈ M einen geodätischen Strahl mit γ(0) = p.

(c) Ist M kompakt, so gibt es keine geodätischen Strahlen.

4 Seien M und N Riemannsche Mannigfaltigkeiten, und sei f : M → N ein Diffeomorphismus. Es gebe eine Konstante C > 0, so daß für alle p ∈ M und X ∈ T_{p}M gilt:

∥d_{p}f(X)∥ ≤ C · ∥X∥.

(a) Zeigen Sie: Ist N vollständig, so auch M.

(b) Geben Sie ein Beispiel, in dem M vollständig ist, aber N nicht.

Abgabe: Montag, 26. April 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo