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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie II"'}
    
    {\bf SS 1999 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 1  \hfill  12.\ April 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\vspace{1ex}
\textbf{\"Ubungsgruppe:} \newline
dienstags, 13--15 Uhr, SR~218, Eckerstr.~1\newline

\textbf{Ausnahme}\newline
1.~\"Ubungsgruppe: Freitag, 23.4.1999, 14 Uhr (c.t.), SR~403, Eckerstr.~1\newline
ab 27.4. dann immer dienstags\par

\a
Sei~$M=\{\,(x,y,z)\in\mR^3\mid x^2+y^2=1\,\}$ die Zylinderfl\"ache
mit der vom~$\mR^3$ induzierten Riemannschen Metrik (1.~Fundamentalform).
Sei~$\gamma$ eine Geod\"atische in~$M$.
Berechnen Sie die Menge aller Jacobifelder l\"angs~$\gamma$ und skizzieren
Sie eine Basis f\"ur diesen Vektorraum.
\a
Sei~$M$ eine zusammenh\"angende Riemannsche Mannigfaltigkeit
mit Abstandsfunktion~$d$,
und sei $c\colon[a,b]\to M$ eine $C^1$-Kurve.
Zeigen Sie:
	$$|\dot c(t)|=\lim_{h\to 0}{d\bigl(c(t+h),c(t)\bigr)\over |h|}$$
f\"ur~$a\le t\le b$.
\a
Sei~$M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, sei~$F\colon(a,b)\times(c,d)\to M$
eine glatte Abbildung, deren Differential \"uberall maximalen Rang hat,
und so, da\ss\ f\"ur alle festen~$s\in(a,b)$ die Kurve~$t\to F(s,t)$
eine Geod\"atische ist.
Beweisen Sie folgende Ungleichung f\"ur die Gau\ss-Kr\"ummung~$K^F$
des Fl\"achenst\"ucks~$F$ und die Schnittkr\"ummung~$K^M$ von~$M$:
	$$K^F(s,t)\le K^M\bigl(d_{(s,t)}F\cdot\mR^2\bigr)\;.$$
Dies verallgemeinert die Ungleichung~$K^F\le 0$ f\"ur Regelfl\"achen im~$\mR^3$.
{\sl Hinweis:\/}
Die Eigenschaften von~$F$ liefern ein Vektorfeld~$V$ tangential an~$F$,
das sowohl f\"ur~$F$ als auch f\"ur~$M$ ein Jacobifeld ist.
Berechnen Sie~${d^2\over dt^2}\<V,V\>$ in~$F$ und in~$M$.
\a
Sei~$M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, $\gamma$ eine Geod\"atische in~$M$.
Sei~$V$ ein Jacobifeld l\"angs~$\gamma$.
Zeigen Sie, da\ss\ es eine geod\"atische Variation von~$\gamma$ gibt,
deren Variationsfeld gerade~$V$ ist.
{\sl Hinweis:\/}
Hat~$V$ die Anfangswerte~$V(t_0)=X$ und~${\nabla\over dt}V(t_0)=Y$,
so w\"ahlen Sie eine Kurve~$\alpha$ durch~$\gamma(t_0)$ mit~$\dot\alpha(0)=X$
und \"uberlegen Sie, welche Geod\"atische mit Anfangspunkt~$\alpha(s)$
Sie betrachten m\"ussen.


\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  19.\ April 1999 in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










