Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie II“ SS 1999 bei Prof. C. Bär Blatt 1 12. April 1999

Übungsgruppe: dienstags, 13–15 Uhr, SR 218, Eckerstr. 1

Ausnahme

1. Übungsgruppe: Freitag, 23.4.1999, 14 Uhr (c.t.), SR 403, Eckerstr. 1 ab 27.4. dann immer dienstags

1 Sei M = { (x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} = 1 } die Zylinderfläche mit der vom ℝ^{3} induzierten Riemannschen Metrik (1. Fundamentalform). Sei γ eine Geodätische in M. Berechnen Sie die Menge aller Jacobifelder längs γ und skizzieren Sie eine Basis für diesen Vektorraum.

2 Sei M eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Abstandsfunktion d, und sei c: [a, b] → M eine C^{1}-Kurve. Zeigen Sie:

|ċ(t)| = lim_{h→0} \frac{d(c(t + h), c(t))}{|h|}

für a ≤ t ≤ b.

3 Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, sei F: (a, b) × (c, d) → M eine glatte Abbildung, deren Differential überall maximalen Rang hat, und so, daß für alle festen s ∈ (a, b) die Kurve t → F (s, t) eine Geodätische ist. Beweisen Sie folgende Ungleichung für die Gauß-Krümmung K^{F} des Flächenstücks F und die Schnittkrümmung K^{M} von M:

K^{F} (s, t) ≤ K^{M}(d_{(s,t)}F · ℝ^{2}) .

Dies verallgemeinert die Ungleichung K^{F} ≤ 0 für Regelflächen im ℝ^{3}. Hinweis: Die Eigenschaften von F liefern ein Vektorfeld V tangential an F, das sowohl für F als auch für M ein Jacobifeld ist. Berechnen Sie \frac{d^{2}}{dt^{2}} ⟨V, V ⟩ in F und in M.

4 Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, γ eine Geodätische in M. Sei V ein Jacobifeld längs γ. Zeigen Sie, daß es eine geodätische Variation von γ gibt, deren Variationsfeld gerade V ist. Hinweis: Hat V die Anfangswerte V (t_{0}) = X und \frac{∇}{dt}V (t_{0}) = Y, so wählen Sie eine Kurve α durch γ(t_{0}) mit α̇(0) = X und überlegen Sie, welche Geodätische mit Anfangspunkt α(s) Sie betrachten müssen.

Abgabe: Montag, 19. April 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo