\documentclass[10pt]{report}
\input{topodef}
\begin{document}
{\bfseries 
\begin{center}
\huge Etwas Topologie
\end{center}

\Large Handout zur Vorlesung Differentialgeometrie, WS 1998/99

\Large Prof.\ Dr.\ Christian B\"ar}

\subsection*{Literatur}
Abraham, Marsden, {\bf Foundations of Mechanics}, Addison Wesley 1978, Seiten 3--17\newline
(Bitte leihen Sie dieses Buch in den ersten 4 Wochen des Semesters nicht aus!)
\par\bigskip 

\begin{definition}
Ein {\neu topologischer Raum} ist ein Paar $(X,\cO)$, wobei $X$ eine Menge ist und $\cO$ eine Menge von Teilmengen von $X$, so da\ss{} folgende Axiome gelten
\begin{enumerate}[i)]
\item $\emptyset\in \cO$, $X\in\cO$,
\item $U_1, U_2 \in \cO \quad \RA \quad U_1\cap U_2 \in \cO$,
\item $U_j\in \cO$ f\"ur $j\in J$, $J$ beliebige Indexmenge 
$\quad \RA\quad \bigcup_{j\in J} U_j \in \cO.$
\end{enumerate}
Die Elemente von $\cO$ hei\ss{}en {\neu offene Teilmengen} von $X$.
Eine Teilmenge $A\subset X$ hei\ss{}t {\neu abgeschlossen}, falls ihr 
Komplement offen ist, \dh $X\ohne A \in \cO$. 
$\cO$ selbst hei\ss{}t {\neu Topologie} von $X$.
\end{definition}

\begin{beispiele}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item $X$ beliebige Menge, $\cO=$ Potenzmenge von $X$, \dh jede
Teilmenge von $X$ ist offen. $\cO$ hei\ss{}t dann {\neu diskrete Topologie}
auf $X$.
\item $X$ beliebige Menge, $\cO=\{\emptyset, X\}$. $\cO$ hei\ss{}t dann 
{\neu Klumpentopologie}.
\item $X=\mR^n$, $\cO=\left\{U\subset \mR\,| \, \forall x\in U \, \exists r>0 
\mbox{ \sd } B_r(x)\subset U\right\}$.
Dabei ist $B_r(x):= \left\{y\in\mR^n\,|\, \|x-y\|<r\right\}$ 
der offene Ball um $x$ von Radius $r$.
$\cO$ ist die {\neu Standardtopologie} des $\mR^n$.
\item $(X,\cO)$ topologischer Raum, $Y\subset X$ Teilmenge. Dann hei\ss{}t
$\cO_Y=\left\{U\cap Y \, |\, U\in \cO\right\}$ {\neu Teilraumtopologie} von $Y$ 
(oder auch {\neu Relativtopologie}).
\item Seien $(X,\cO_X)$ und $(Y,\cO_Y)$ topologische R\"aume. 
Die {\neu Produkttopologie} von $X\times Y$ ist definiert durch 
  $$\cO=\left\{ U\subset X\times Y \, |\, 
    \exists V_i \in \cO_X, \quad W_i \in \cO_Y \mbox{ \sd } U=\bigcup_i V_i\times W_i\right\}.$$
\item Sei $(x,\cO)$ ein topologischer Raum, sei "`$\sim$"' eine \"Aquivalenzrelation auf $X$. 
Dann tr\"agt die Menge aller \"Aquivalenzklassen $X/\sim\; = \left\{ [x]\,| \, x\in X\right\}$ die 
{\neu Quotiententopologie} $\witi \cO$, die folgenderma\ss{}en definiert ist:\newline
Sei $\pi:X\to X/\sim$, $\pi(x)=[x]$, die Abbildung, die jedem Element seine \"Aquivalenzklasse
zuordnet.
Dann ist $\witi\cO:=\left\{U\subset X/\sim \,\Big|\, \pi^{-1}(U)\in \cO\right\}$.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
Sei $(X,\cO)$ ein topologischer Raum, $Y\subset X$.
Dann hei\ss{}t 
  $$\inn Y =\bigcup_{\instyle U\in \cO\atop \instyle U\subset Y} U$$ 
das {\neu Innere} von $Y$ und 
  $$ \ol Y = \bigcap_{\instyle A \mbox{ \small abgeschl.}\atop \instyle A\supset Y} A$$ 
der {\neu Abschlu\ss{}} von $Y$ (bzgl.\ $X$).
\end{definition}

\begin{bemerkung}
$\inn Y$ ist offen, $\ol Y$ ist abgeschlossen. 
\end{bemerkung}

\begin{beispiele}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item $X=\mR$ (mit Standardtopologie), $Y=[0,1)$.\newline
      $\inn Y=(0,1)$, $\ol Y=[0,1]$.
\item $X=[0,\infty)$ (mit der Teilraumtopologie, die durch die 
Standardtopologie von $\mR$ induziert wird), $Y=[0,1)$.\newline
      $\inn Y=[0,1)$, $\ol Y=[0,1]$.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
Ein {\neu metrischer Raum} ist ein Paar $(X,d)$, 
wobei $X$ eine Menge ist und $d:X\times X \to \mR$ 
eine Funktion, 
die folgenden Axiomen gen\"ugt:
\begin{enumerate}[i)]
\item $d(x,y)=0\quad\gdw\quad x=y$,
\item $d(x,y)=d(y,x)$ \quad (Symmetrie),
\item $d(x,z)\leq d(x,y) + d(y,z)$ (Dreiecksungleichung),
\end{enumerate} 
jeweils f\"ur alle $x,y,z\in X$.
 
Au\ss{}erdem hei\ss{}t $B_r(x)=\left\{y\in X\,|\,d(x,y)<r\right\}$ der {\neu offene Ball}
um $x$ von Radius $r$.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Aus den Axiomen folgt $d(x,y)\geq 0$ f\"ur alle $x,y\in X$. (Wie?)
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
Ist $(X,d)$ ein metrischer Raum, so bildet 
  $$\cO=\left\{ U\subset X \,|\, 
    \exists r_i>0 \; \exists x_i\in X \mbox{ \sd } U=\bigcup_i B_{r_i} (x_i)\right\}$$
die induzierte Topologie auf $X$.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
F\"ur $X=\mR^n$ und $d(x,y)=\|x-y\|$ ist die induzierte Topologie 
gerade die Standardtopologie.
\end{beispiel}

\begin{definition}
Ein topologischer Raum hei\ss{}t {\neu Hausdorff-Raum}, 
falls es f\"ur je zwei verschiedene Punkte $x_1,x_2\in X$ 
offene Mengen $U_i\in\cO$ gibt mit $x_i\in U_i$ und $U_1\cap U_2=\emptyset$.
Verschiedene Punkte k\"onnen also durch offene Mengen getrennt werden.
\end{definition}

\begin{center}
\newrgbcolor{lightergray}{.9 .9 .9}
\psset{unit=1cm, dotsize=3pt 0}
\begin{pspicture}(0,0)(10,4)
\psellipse[fillcolor=lightergray,fillstyle=solid,linewidth=2pt](2.5,2)(2,1.3)
\psellipse[fillcolor=lightergray,fillstyle=solid,linewidth=2pt](7.5,2)(2,1.3)

\rput(1.5,2){\psframebox*[fillstyle=solid,fillcolor=white]{$U_1$}}
\rput(8.5,2){\psframebox*[fillstyle=solid,fillcolor=white]{$U_2$}}

\psdots(2.9,2.3)
\psdots(7.3,1.8)
\rput[lt](3.0,2.2){$x_1$}
\rput[rt](7.2,1.7){$x_2$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{beispiele}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item Jede Menge mit diskreter Topologie ist ein Hausdorff-Raum (setze $U_i:=\{x_i\}$).
\item Eine Menge mit mindestens 2 Elementen mit der Klumpentopologie ist kein Hausdorff-Raum.
\item Jeder metrische Raum ist hausdorffsch (setze $U_i=B_r(x_i)$ mit $r=(1/2)\, d(x_1, x_2)$).
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
Sei $(X,\cO)$ ein topologischer Raum, $x\in X$. Eine Teilmenge $Y\subset X$ hei\ss{}t {\neu Umgebung} von $x$, 
falls es ein $U\in \cO$ gibt mit $x\in U$ und $U\subset Y$.
\end{definition}

\begin{beispiel}
F\"ur $X=\mR$ ist $[-1,1]$ eine Umgebung von $0$, denn $0\in (-1,1) \subset [-1,1]$ und $(-1,1)$ ist offen.
\end{beispiel}

\begin{definition}
Sei $(X,\cO)$ ein topologischer Raum, $x_i\in X$, $i\in \mN$, $ x\in X$.
Wir sagen, die Folge $(x_i)_i$ {\neu konvergiert} gegen $x$, $\lim_{i\to \infty} x_i = x$,
falls f\"ur jede Umgebung $V$ von $x$ ein $ n\in\mN$ existiert, 
so da\ss{} $x_i\in V$ f\"ur alle $i\geq n$.
Der Punkt $x$ hei\ss{}t dann 
{\neu Grenzwert} der Folge $(x_i)_i$.
\end{definition}

\begin{beispiele}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item Tr\"agt $X$ die Klumpentopologie, so konvergiert jede Folge gegen jeden Punkt.
\Ia sind Grenzwerte also nicht eindeutig.
\item Tr\"agt $X$ die diskrete Topologie, so konvergieren nur solche Folgen, die
ab einem Index konstant sind.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{bemerkung}
In einem Hausdorff-Raum sind Grenzwerte eindeutig.
\end{bemerkung}

\begin{lemma}
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $x_i\in X$, $i\in \mN$, $x\in X$.
Dann konvergiert die Folge $(x_i)_i$ genau dann gegen $x$, wenn folgendes $\ep$-Kriterium
erf\"ullt ist:
  $$\forall \ep>0 \; \exists n\in \mN\mbox{ \sd } d(x_i,x)<\ep\qquad \forall i\geq n.$$
\end{lemma}
\beweis{}
Folgt direkt aus den Definitionen.
\qed

\begin{definition}
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Eine Folge $(x_i)_i$ hei\ss{}t {\neu Cauchy-Folge}, falls
  $$\forall \ep>0 \; \exists n\in \mN\mbox{ \sd } d(x_i,x_j)<\ep\qquad \forall i,j\geq n.$$
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen.
\end{bemerkung}


\begin{definition}
Ist umgekehrt in einem metrischen Raum auch jede Cauchy-Folge konvergent, 
so hei\ss{}t der Raum {\neu vollst\"andig}.
\end{definition}

\begin{beispiele}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item $\mR^n$ mit der Standardtopologie ist vollst\"andig.
\item $\mQ$ mit der Metrik $d(x,y)=|x-y|$ ist nicht vollst\"andig, denn 
jede reelle Zahl, auch jede irrationale, ist Grenzwert einer Folge von rationalen 
Zahlen (\zB Dezimalbruchentwicklung). Solche Folgen sind
Cauchy-Folgen, da sie in $\mR$ konvergieren, haben aber keinen Grenzwert in $\mQ$. 
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
Sei $(X,\cO)$ ein topologischer Raum. Eine Teilmenge 
$\cU\subset \cO$ hei\ss{}t {\neu offene \"Uberdeckung} von $X$, falls 
  $$X=\bigcup_{U\in \cU} U.$$
\end{definition}

\begin{beispiel}
$\cU=\{(k-1,k+1)\,|\,k\in \mZ\}$ ist eine offene \"Ubedeckung von $\mR$.
\end{beispiel}

\begin{definition}
Ein topologischer Raum hei\ss{}t {\neu kompakt}, falls jede offene \"Uberdeckung von $\cU$ von $X$ 
eine endliche (!) Teilmenge $\cU'\subset \cU$ besitzt, die $X$ immer noch \"uberdeckt.
\end{definition}

\begin{vorsicht}
Die Bedingung ist nicht die, da\ss{} $X$ eine endliche offene \"Uberdeckung besitzt.
Das ist immer erf\"ullt, \zB $\cU=\{X\}$. Die Bedingung 
besagt, da\ss{} man bei jeder offenen \"Uberdeckung alle bis auf endlich viele Mengen 
weglassen kann und $X$ immer noch ganz \"uberdeckt wird.
\end{vorsicht}

\begin{beispiele}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item  $\mR$ ist nicht kompakt, denn \zB zu der oben angegebenen \"Uberdeckung
von $\mR$ gibt es keine endliche Teil\"uberdeckung von $\mR$.
L\"a\ss{}t man auch nur eine der Mengen $(k-1,k+1)$ weg, so wird der Punkt $k$ nicht mehr 
\"uberdeckt.
\item Hat $X$ nur endlich viele Elemente, so ist $X$ kompakt.
\item Tr\"agt $X$ die Klumpentopologie, so ist $X$ kompakt.
\item Tr\"agt $X$ die diskrete Topologie, so ist $X$ nicht
kompakt, es sei denn $X$ hat nur endlich viele Elemente.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{satz}[Heine-Borel]
$\mR^n$ trage die Standardtopologie.
Eine Teilmenge $A\subset \mR^n$ ist kompakt, genau dann wenn $A\subset \mR^n$ abgeschlossen 
und beschr\"ankt ist.
\end{satz}

\beweis{} 
\ZB Forster, Analysis 2, Vieweg 1981, Seite 21.

\begin{bemerkung}
Wenn wir von kompakten Teilmengen eines topologischen Raumes sprechen, 
so ist dies stets bzgl.\ der Teilraumtopologie gemeint.
\end{bemerkung}

Eine Teilaussage im Satz von Heine-Borel ist in gro\ss{}er Allgemeinheit g\"ultig:
\begin{lemma}\label{l2}
Sei $(X,\cO)$ ein Hausdorff-Raum. Ist $A\subset X$ kompakt, so ist $A\subset X$ abgeschlossen.
\end{lemma}
\beweis{}
Sei $x\in X\ohne A$. F\"ur jedes $a\in A$ gibt es wegen der Hausdorff-Eigenschaft offene 
Mengen $U_{x,a}$, $V_{x,a}\in \cO$ mit $x\in U_{x,a}$ $a\in V_{x,a}$ und $
U_{x,a}\cap V_{x,a}= \emptyset$. 
Insbesondere bildet $\cU=\{ V_{x,a}\cap A\,|\,a\in A\}$ eine offene \"Uberdeckung von $A$ 
bez\"uglich der Teilraumtopologie.
Wegen der Kompaktheit von $A$ gibt es endlich viele $a_1,\dots,a_N\in A$ mit 
$A\subset \bigcup_{j=1}^N V_{x,a_j}$. Setze $U_x:=\bigcap_{j=1}^N U_{x,a_j}$.
Dann ist $U_x$ offen, $x\in U_x$ und $U_x\cap A=\emptyset$.
Also ist $X\ohne A= \bigcup_{x\in X\ohne A} U_x$ offen, \dh
$A$ ist abgeschlossen.
\qed

\begin{lemma}\label{l3}
Abgeschlossene Teilmengen kompakter R\"aume sind kompakt.
\end{lemma}

\beweis{}
Sei $X$ kompakt, $A\subset X$ abgeschlossen.
Sei $\cU$ eine bzgl.\ der Teilraumtopologie offene \"Uberdeckung von $A$.
Nach Definition der Teilraumtopologie gibt es eine Menge $\cU'$ von bzgl.\ $X$ offenen
Teilmengen von $X$ mit $\cU=\left\{U\cap A \,|\, U\in \cU'\right\}$. Dann ist 
$\cU''=\cU'\cup \{X\ohne A\}$ eine offene \"Uberdeckung von $X$. 
Da $X$ kompakt ist, gibt es eine endliche Teil\"uberdeckung von $\cU''$ f\"ur $X$ 
und damit auch von $\cU'$ f\"ur $A$. Also ist $A$ kompakt.
\qed

\begin{definition}
Sei $(X,\cO)$ ein topologischer Raum. Eine Teilmenge $\cB\subset \cO$ hei\ss{}t {\neu Basis} 
der Topologie $\cO$,
falls jedes Element in $\cO$ sich als Vereinigung von Elementen in $\cB$ schreiben l\"a\ss{}t, \dh f\"ur alle $U\in \cO$ gilt 
  $$U=\bigcup_{\instyle V\in \cB\atop \instyle V\subset U} V.$$
\end{definition}


\begin{beispiele}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item Ist $X$ ein metrischer Raum, dann ist die Menge der offenen
B\"alle eine Basis der induzierten Topologie,
  $$\cB=\left\{B_r(x)\,|\,x\in X, r>0\right\}.$$
\item Im Fall $X=\mR^n$ kommt man auch mit B\"allen aus, die rationalen Mittelpunkt 
und Radius haben, \dh 
  $$\cB=\left\{ \cB_r(x)\,|\,x\in\mQ^n, r\in \mQ, r>0\right\}.$$
Die Standardtopologie des $\mR^n$ besitzt also eine {\neu abz\"ahlbare Basis}.
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
Seien $(X,\cO_X)$ und $(Y,\cO_Y)$ topologische R\"aume, $x\in X$, $F:X\to Y$ eine Abbildung.
Dann hei\ss{}t $f$ {\neu stetig in $x$}, falls f\"ur jede Umgebung
$V$ von $f(x)$ in $Y$ das Urbild $f^{-1}(V)$ eine Umgebung von $x$ in $X$ ist.
Falls $f$ in jedem Punkt stetig ist, hei\ss{}t $f$ {\neu stetig}.
\end{definition}


\begin{bemerkungen}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item $f$ ist stetig genau dann, wenn
  $$\forall V\in \cO_Y:\quad f^{-1}(V)\in \cO_X.$$
\item Ist $f:X\to Y$ stetig in $x\in X$ und $g:Y\to Z$ stetig in $f(x)$, 
      dann ist $g\circ f$ stetig in $x$.
\item Sind $X$ und $Y$ metrische R\"aume, so ist $f$ stetig in $x$ genau dann, 
wenn folgendes $\ep$-$\de$-Kriterium erf\"ullt ist:
  $$\forall \ep>0\; \exists \de>0:\quad f\left(B_{\de}(x)\right)\subset B_{\ep}(f(x)),$$
oder anders ausgedr\"uckt,
  $$\forall \ep>0\; \exists \de>0\;\forall \ti x\in X\mbox{ mit } d(x,\ti x)<\de:\quad  
    d\Big(f(x),f(\ti x)\Big)<\ep.$$
\end{enumerate}
\end{bemerkungen}


\begin{beispiele}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item Tr\"agt $X$ die diskrete Topologie und $Y$ irgendeine, 
      so ist jede Abbildung $f:X\to Y$ stetig.
\item Tr\"agt $X$ irgendeine Topologie und $Y$ die Klumpentopologie,
      so ist ebenfalls jede Abbildung $f:X\to Y$ stetig.
\end{enumerate}
\end{beispiele}


\begin{lemma}\label{l4}
Sei $f:X\to Y$ stetig und $A\subset X$ kompakt.
Dann ist $f(A)$ kompakt.
\end{lemma}

\beweis{}
Sei $\cU$ eine offene \"Uberdeckung von $f(A)$. Dann ist
$\cU'=\left\{f^{-1}(U)\,|\,U\in \cU\right\}$ eine offene \"Uberdeckung von $A$. 
Da $A$ kompakt ist, besitzt $\cU'$ eine endliche Teil\"uberdeckung, \dh
es gibt $U_1,\dots, U_N\in \cU$ 
derart, da\ss{} $A\subset \bigcup_{j=1}^N f^{-1}(U_j)$.
Dann ist 
  $$f(A)\subset f\Big(\bigcup_{j=1}^N f^{-1}(U_j)\Big) 
    = \bigcup_{j=1}^N f(f^{-1}(U_j))\subset \bigcup_{j=1}^N U_j.$$
Also ist $\{U_1,\dots, U_N\}\subset \cU$ eine endliche offene Teil\"uberdeckung von $A$.
\qed 

\begin{definition}
Seien $(X,\cO_X)$ und $(Y,\cO_Y)$ topologische R\"aume.
Ein {\neu Hom\"oomorhphismus} ist eine stetige bijektive Abbildung $f:X\to Y$, so da\ss{} auch 
$f^{-1}:Y\to X$ stetig ist.
Gibt es einen solchen Hom\"oomorphismus,
so hei\ss{}en die R\"aume $(X,\cO_X)$ und $(Y,\cO_Y)$ {\neu hom\"oomorph}.
\end{definition}


\begin{beispiele}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item $\tan:\left(-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right)\to \mR$ ist ein Hom\"oomorphismus.
\item Sei $X$ eine Menge mit mindestens 2 Elementen.
Sei $\cO_1$ eine diskrete Topologie auf $X$, $\cO_2$ die Klumpentopologie. 
Dann ist 
  $$f=\id: \,(X,\cO_1)\to (X,\cO_2)$$
stetig und bijektiv, aber $f^{-1}$ ist \textbf{nicht} stetig. 
Also ist $f$ kein Hom\"oomorphismus.
\end{enumerate}
\end{beispiele}
Die Stetigkeit von $f^{-1}$ ist, wie das letzt Beispiel zeigt, 
nicht automatisch erf\"ullt, wenn $f$ stetig und bijektiv ist. 
Unter bestimmten Voraussetzungen gilt dies aber doch:

\begin{lemma}
Sei $(X,\cO_X)$ kompakt und $(Y,\cO_Y)$ ein Hausdorff-Raum.
Ist $f:X\to Y$ stetig und bijektiv, so ist auch $f^{-1}$ stetig,
\dh $f$ ist ein Hom\"oomorphismus.
\end{lemma}

\beweis{}
Zu zeigen ist, da\ss{} Bilder offener Mengen unter $f$ wieder offen sind.
Sei $U\in \cO_X$. 
Dann ist $X\ohne U$ abgeschlossen.
Nach Lemma~\ref{l3} ist $X\ohne U$ kompakt.
Nach Lemma~\ref{l4} ist $f(X\ohne U)=Y\ohne f(U)$ kompakt.
Nach Lemma~\ref{l2} ist $Y\ohne f(U)$ abgeschlossen. Also ist $f(U)$ offen.
\qed

\end{document}





