\documentclass[10pt]{article}
\input{tensordef}
\begin{document}
{\bfseries 
\begin{center}
\huge Multilineare Algebra
\end{center}

\Large Handout zur Vorlesung Differentialgeometrie, WS 1998/99\\
Prof.\ Chr.\ B\"ar\\
verfa\ss{}t von Bernd Ammann}

\section*{Literatur}
Frank Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Kapitel 2\par\bigskip 

\section{Tensoren}
\begin{motivation}
In diesem Handout wollen wir das zentrale Objekt der multilinearen 
Algebra, die Tensoren, einf\"uhren. 
Der Begriff "`Tensor"' stellt die Begriffe 
"`Vektor"', "`Linearform"', "`lineare Abbildung"', "`Bilinearform"', "`Multilinearform"' und viele andere in einen einheitlichen Formalismus. 
Tensoren sind wichtige Objekte sowohl in der Mathematik 
(Riemannsche Geometrie, Darstellungstheorie, Knotenthorie,\dots)
als auch in der Physik 
(Allgemeine Relativit\"atstheorie, klassische Feldtheorie, 
klassische Mechanik, Quantenphysik, \dots). 
Um den Formalismus einfach zu gestalten, wollen wir uns hier auf Tensoren
\"uber endlich-dimensionalen Vektorr\"aumen beschr\"anken.
%Die meisten der Definitionen und Eigenschaften 
%funktionieren aber mit entsprechenden Modifikationen und Einchr\"ankungen
%auch f\"ur unendlich-dimensionale Vektorr\"aume 
%und f\"ur Moduln \"uber kommutativen und
%nicht-kommutativen Ringen.
\end{motivation}

Im folgenden sei $\mK=\mR$ oder $\mK=\mC$ 
(oder allgemeiner ein K\"orper der Charakterisitik $0$).
Weiter seien $V$, $W$ und $U$ immer endlich-dimensionale 
Vektorr\"aume \"uber $\mK$. Der Dualraum von $V$ ist der Vektorraum 
aller linearen Abbildungen $V\to \mK$; wir bezeichnen ihn mit $V^*$.
Die Elemente von $V$, $W$ und $U$ nennen wir $v$, $w$ und $u$, evtl.\ mit 
Indizes versehen, die Elemente der Dualr\"aume bezeichnen wir
mit $\al$, $\be$,\dots.
Aufgrund der endlichen Dimension k\"onnen wir $V^{**}$ mit $V$ identifizieren.
Dabei wird $v\in V$ mit der Linearform $V^*\to \mK$, $\al\mapsto \al(v)$, identifiziert.

Sei $F(V,W)$ die Menge aller Abbildungen $A:V\times W\to \mK$ 
mit der Eigenschaft, da\ss{} $A^{-1}(\mK\ohne \{0\})$ endlich ist.
Man beachte, da\ss{} die Elemente von $A$ im allgemeinen 
keine linearen Abbildungen sind. Wir machen $F(V,W)$ zu einem 
Vektorraum, indem wir f\"ur f\"ur $f,g\in F(V,W)$ und $a\in\mK$ setzen
\begin{eqnarray*}
(af)(v,w)&:=&a(f(v,w))\\
(f+g)(v,w)&:=&f(v,w) + g(v,w)
\end{eqnarray*}
Der Vektorraum $F(V,W)$ hei\ss{}t der \emph{freie Vektorraum \"uber $\mK$
der von den Punkten von $V\times W$ erzeugt wird}.
Wir definieren nun $[v,w]\in F(V,W)$ durch
  $$[v,w](v',w')=\left\{\matrix{1 \qquad \mbox{f\"ur $v'=v$ und $w'=w$,}\hfill\cr
                                 0 \qquad \mbox{sonst.}\hfill}\right.$$    
Die Menge $\{[v,w]\,|\,v\in V, w\in W\}$ ist eine Basis von $F(V,W)$.

Nun sei $R(V,W)$ der Unterraum von $F(V,W)$ der von allen Elementen der Form
\begin{equation}\label{eq1}
\matrix{[v_1+v_2,w]-[v_1,w]-[v_2,w]\hfill\cr
          [v,w_1+w_2]-[v,w_1]-[v,w_2]\hfill\cr
          [av,w]-a[v,w]\hfill\cr
          [v,aw]-a[v,w]\hfill\cr}
\end{equation}
erzeugt wird.

\begin{definition}
Der Quotientenvektorraum $F(V,W)/R(V,W)$ hei\ss{}t das \emph{Tensorprodukt} 
von $V$ und $W$ \"uber $\mK$ und wird mit $V\ot W$ bezeichnet.
Die \"Aquivalenzklasse in $V\ot W$ die von dem Element $[v,w]$ repr\"asentiert wird,
bezeichnen wir mit  $v\ot w$.
\end{definition}

Aus \eref{eq1} erhalten wir die folgenden Relationen in $V\ot W$:
$$\matrix{(v_1+v_2)\ot w = v_1\ot w + v_2\ot w\cr
          v\ot (w_1+w_2) = v\ot w_1 + v\ot w_2\cr
          a(v\ot w)=(av)\ot w = v \ot (aw). }$$

\begin{bemerkung}
Nicht jedes Element von $V\ot W$ l\"a\ss{}t sich in der Form $v\ot w$ schreiben. Die
Elemente der Form $v\ot w$ erzeugen aber $V\ot W$. Jedes Element von $V\ot W$ kann deswegen in
der Form $\sum v_i\ot w_i$ geschrieben werden.
Kennt man die Werte einer linearen Abbildung $F:V\ot W\to U$ auf den Elementen der Form $v\ot w$, berechnet
sich daraus f\"ur ein beliebiges Element $\sum v_i\ot w_i\in V\ot W$
  $$F\left(\sum v_i\ot w_i\right)= \sum F(v_i\ot w_i).$$ 
\end{bemerkung}

\begin{beispiele}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item Sind $\{e_i\,|\,i=1,\dots,n\}$ und $\{f_j\,|\,j=1,\dots, m\}$ Basen von $V$ und $W$,
dann ist $\{e_i\ot f_j\,|\,i=1,\dots,n;\; j=1,\dots, m\}$ eine Basis von $V\ot W$.
\item Es gilt $\mK^n\otimes\mK^m\cong \mK^{nm}$
\item Es gibt genau einen Vektorraumisomorphismus $V\ot W\to W\ot V$, der jedes $v\ot w$ auf $w\ot v$ abbildet.
\item Es gibt genau einen Vektorraumisomorphismus $V\ot (W\ot U)\cong (V\ot W)\ot U$, der
jedes $v\ot (w\ot u)$ auf $(v\ot w)\ot u$ abbildet. Wir schreiben deswegen abk\"urzend
$V\ot W\ot U:=V\ot (W\ot U)\to (V\ot W)\ot U$.
\item Der Vektorraum der linearen Abbildungen $V\to W$ kann mit $V^*\ot W$ identifiziert werden.
Dabei entspricht $\al\ot w$ dem Homomorphismus $v\mapsto \al(v)\cdot w$
\item Der Vektorraum der Bilinearformen $V\times W\to \mK$ kann mit $V^*\ot W^*$ identifiziert
werden. Man kann deswegen $V\ot W$ auch als Vektorraum der Bilinearformen $V^*\times W^*\to \mK$
interpretieren. Dabei entspricht $\al\ot \be$ der Biliearform $(v,w)\mapsto \al(v)\cdot \be(w)$.
\item Betrachten wir $\mC$ als reellen zwei-dimensionalen Vektorraum, dann k\"onnen wir f\"ur 
jeden reellen Vektorraum $V$ das Tensorprodukt mit $\mC$ \"uber dem K\"orper der reellen Zahlen
bilden 
  $$V_{\mC}:=V\ot \mC.$$
$V_{\mC}$ hei\ss{}t die \emph{Komplexifizierung} von $V$. Der zun\"achst reelle Vektorraum
$V_{\mC}$ wird zum komplexen Vektorraum, wenn wir 
  $$a\cdot (v\ot z):= v\ot (az)\qquad \forall a,z\in \mC,\quad v\in V$$
definieren.  
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
Zu jedem Vektorraum $V$ und jedem $r,s\geq 0$ assoziieren wir 
den \emph{Tensorraum $\TensV{r,s}$ vom Typ $(r,s)$} 
  $$\TensV{r,s}:=\underbrace{V\ot \cdots \ot V}_{\mbox{$r$-mal}}\ot 
    \underbrace{V^*\ot \cdots \ot V^*}_{\mbox{$s$-mal}}.$$
F\"ur den Spezialfall $r=s=0$ definieren wir $\TensV{0,0}:=\mK$.
Die Elemente von $\TensV{r,s}$ hei\ss{}en \emph{homogene Tensoren vom Typ $(r,s)$}.

Die direkte Summe 
  $$\TensV{*,*}:= \sum_{r,s\geq 0} \TensV{r,s}$$ 
nennen wir die \emph{Tensoralgebra von $V$}.
Elemente von $\TensV{*,*}$ hei\ss{}en \emph{Tensoren}.
Wir definieren eine Multiplikation auf $\TensV{*,*}$ wie folgt:
zu $u=u_1\ot \dots \ot u_r\ot\al_1\ot\dots\ot\al_s\in \TensV{r,s}$ und
$v=v_1\ot \dots \ot v_{r'}\ot\be_1\ot\dots\ot\be_{s'}\in \TensV{r',s'}$
definieren wir ihr Produkt $u\ot v\in \TensV{r+r',s+s'}$ als
  $$u\ot v :=u_1\ot \dots \ot u_r\ot v_1\ot \dots \ot v_{r'}
             \ot\al_1\ot\dots\ot\al_s\ot\be_1\ot\dots\ot\be_{s'}.$$
Diese Definition l\"a\ss{}t sich  auf eindeutige Art und Weise zu einer bilinearen Abbildung
  $$\ot:\TensV{*,*}\times \TensV{*,*}\to \TensV{*,*}$$
fortsetzen.
\end{definition}
$\TensV{*,*}$ ist zusammen mit der Multiplikation $\ot$ eine nicht-kommutative, assoziative und 
graduierte Algebra. "`Graduiert"' bedeutet hierbei, da\ss{} 
  $$\TensV{r,s}\ot \TensV{r',s'}\subset \TensV{r+r',s+s'}.$$ 

\begin{interpretation}
Einen homogenen Tensor vom Grad $(r,s)$, etwa $u_1\ot\cdots\ot u_r\ot \al_1\ot \cdots\ot \al_s$, kann man interpretieren als
\begin{enumerate}[1.)]
\item multilineare Abbildung 
\begin{eqnarray*}
  \underbrace{V\times\cdots\times V}_{\mbox{$s$-mal}}& \to & \TensV{r,0},\\
  (v_1,\dots,v_s) & \mapsto & \al_1(v_1)\cdots \al_s(v_s)\cdot u_1\ot \cdots \ot u_r
\end{eqnarray*}
\item multilineare Abbildung
\begin{eqnarray*}
  \underbrace{V^*\times\cdots\times V^*}_{\mbox{$r$-mal}} & \to & \TensV{0,s},\\
  (\be_1,\dots,\be_r) & \mapsto & \be_1(u_1)\cdots \be_r(u_r)\cdot \al_1\ot \cdots\ot \al_s
\end{eqnarray*}
\item lineare Abbildung 
\begin{eqnarray*}
  \TensV{s,0}& \to & \TensV{r,0}\\
  v_1\ot \cdots\ot v_s & \mapsto & \al_1(v_1)\cdots \al_s(v_s)\cdot u_1\ot \cdots \ot u_r
\end{eqnarray*}
\item lineare Abbildung 
\begin{eqnarray*}
  \TensV{0,r} & \to  & \TensV{0,s}\\
  \be_1\ot\cdots\ot\be_r & \mapsto & \be_1(u_1)\cdots \be_r(u_r)\cdot \al_1\ot \cdots\ot \al_s
\end{eqnarray*}
  
\item Linearform auf $\TensV{s,r}$, 
\begin{eqnarray*}
  \TensV{s,r}& \to &  \mK\\
  v_1\ot \cdots\ot v_s\ot \be_1\ot\cdots\ot\be_r & \mapsto & \al_1(v_1)\cdots \al_s(v_s)\cdot \be_1(u_1)\cdots \be_r(u_r)
\end{eqnarray*}

Also k\"onnen wir $\TensV{r,s}$ mit $\left(\TensV{s,r}\right)^*$ identifizieren.
\end{enumerate}
\end{interpretation}


\begin{beispiele}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item Vektoren sind Tensoren vom Grad $(1,0)$, Linearformen sind Tensoren vom Grad $(0,1)$.
\item Eine lineare Abbildung ein Tensor vom Grad $(1,1)$. 
\item Ein Skalarprodukt auf dem reellen Vektorraum $V$ ist ein Tensor vom Grad $(0,2)$.
\item Ein hermitesches Skalarprodukt auf dem \textbf{komplexen} Vektorraum $V$ ist \textbf{kein} Tensor \"uber
      dem K\"orper $\mC$, da das Skalarprodukt in einer Komponente antilinear ist.
\item Eine Determinantenfunktion auf einem $s$-dimensionalen Vektorraum $V$ ist eine alternierende,      
      multilineare Abbildung 
        $$\underbrace{V\times\cdots\times V}_{\mbox{$s$-mal}}\to \mK,$$
      also ein Tensor vom Grad $(0,k)$. 
\end{enumerate}
\end{beispiele}


\section{Alternierende Tensoren}
Dieses Kapitel wird sich mit einer speziellen Klasse von Tensoren besch\"aftigen, 
den alternierenden Tensoren.

Wir definieren zun\"achst den Alternierungs-Operator
\begin{eqnarray*}
  \Alt_r: \TensV{r,0}& \to & \TensV{r,0}\\ 
      v_1\ot \dots\ot v_r & \mapsto & \sum_{\si} \sign(\si) v_{\si(1)}\ot\dots 
                            \ot v_{\si(r)},
\end{eqnarray*}
wobei die Summation \"uber alle Permutationen $\si$ von $\{1,\dots,r\}$ geht.
Die Abbildung $\Alt_r$ ist bis auf eine Konstante $r!$ eine Projektion, d.\thinspace h.\ sie erf\"ullt 
  $${1\over r!}\Alt_r=\left({1\over r!}\Alt_r\right)\circ\left({1\over r!}\Alt_r\right).$$
\begin{definition}
Das Bild von $\Alt_r$ bezeichnen wir mit 
$\We_r V$. 
\end{definition}

F\"ur einen homogenen Tensor $\om\in \TensV{r,0}$ sind \"aquivalent:
\begin{enumerate}[1.)]
\item $\om\in \We_r V$,
\item $\Alt(\om)=r!\cdot \om$,
\item $\om(\al_1,\dots, \al_r)=0$ falls $\al_1,\dots,\al_r\in V^*$ linear abh\"angig sind,
\item $\om(\al_{\si(1)},\dots, \al_{\si(r)}) =\sign (\si) \om(\al_1,\dots,\al_r)$ f\"ur alle Permutationen $\si$
und alle Linearformen $\al_1,\dots, \al_r\in V^*$.
\end{enumerate}
Hieraus folgt unter anderem $\We_r V=0 $ f\"ur $r>\dim V$.
Wir bilden nun die Summe
  $$\We_* V:=\bigoplus_{r\geq 0} \We_r V.$$

\begin{definition}
Das Dach-Produkt 
\begin{eqnarray*}
  \we:\We_*V \times \We_* V & \to & \We_* V\\
      (\nu,\om)& \mapsto & \nu\we\om
\end{eqnarray*}
ist die eindeutig bestimmte bilineare Abbildung, die $\We_r V\times \We_s V$ in
$\We_{r+s} V$ abbildet und f\"ur die das Diagramm
\begin{equation}\label{altdiag}
\CD
\TensV{r,0} \times \TensV{s,0} \cd\rightarrow{\ot}{} \TensV{r+s,0}\\
\cd\downarrow{\Alt_r\times\Alt_s}{} \cd\downarrow{}{\Alt_{r+s}}\\
\We_r V \times \We_s V \cd\rightarrow{\we}{} \We_{r+s} V\\
\endCD 
\end{equation}
f\"ur alle $r$ und $s$ kommutiert.
\end{definition}

Damit dieses Dach-Produkt wohldefiniert ist, mu\ss{} man sich nat\"urlich noch \"uberlegen,
da\ss{} solch eine Abbildung \"uberhaupt existiert und durch die obige Forderung eindeutig bestimmt ist.

\begin{eigenschaften}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item Das Dachprodukt ist assoziativ, also $\tau\we(\nu\we\om) =(\tau\we\nu)\we\om$.
\item F\"ur $\tau\in\We_r V$ und $\om\in\We_s V$ gilt $\tau\we\om=(-1)^{rs}\om\we\tau$
\end{enumerate}
\end{eigenschaften}

$\We_* V$ bildet also mit der Multiplikation $\we$ eine graduierte nicht-kommutative, assoziative
Algebra, die sogenannte \emph{\"au\ss{}ere Algebra} oder \emph{Grassmann-Algebra} von $V$. 


\begin{bemerkung}
Genauso wie wir zu dem Vektorraum $V$ die \"au\ss{}ere Algebra $\We_* V$ bilden k\"onnen,
k\"onnen wir zum Dualraum $V^*$ die \"au\ss{}ere Algebra $\We_* V^*$ bilden.
Die Algebra $\We_* V^*$ wird in der Differentialgeometrie h\"aufig gebraucht. 
Die Elemente hei\ss{}en \emph{Formen}, die Elemente von $\We_r V^*$ hei\ss{}en 
\emph{(alternierende) $r$-Formen} oder
\emph{Formen vom Grad $r$}. 
Mit der obigen Interpretation ist eine $r$-Form eine alternierende, multilineare Abbildung
  $$\underbrace{V\times \cdots\times V}_{\mbox{$r$-mal}}\to \mK$$
\end{bemerkung}


\begin{beispiele}\ \newline
\begin{enumerate}[1.)]
\beispieleskip
\item Konstanten sind $0$-Formen, Linearformen sind $1$-Formen
\item Determinantenfunktionen auf einem $s$-dimensionalen Vektorraum sind $s$-Formen
\item Sind $\al_1,\dots,\al_r$ Linearformen auf $V$ und $v_1,\dots,v_r$ Vektoren in $V$,
      dann berechnet sich
\begin{equation}\label{detformel}
       \al_1\we\dots\we\al_r (v_1,\dots,v_r)=\det \Big(\al_i(v_j)\Big)_{i,j\in\{1,\dots, r\}}
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{vorsicht}
Es gibt in der Literatur teilweise verschiedene Konventionen. In manchen B\"uchern wird im Diagramm
\eref{altdiag} die Abbildung $(1/r!)\Alt_r$ anstelle von $\Alt_r$ verwendet. Aus dieser unterschiedlichen 
Konvention ergeben sich eine Reihe von anderen Vorfaktoren. Unter anderem w\"urde dann
die Formel \eref{detformel} durch
   $$\al_1\we\dots\we\al_r (v_1,\dots,v_r)={1\over r!}\;\det \Big(\al_i(v_j)\Big)_{i,j\in\{1,\dots, r\}}$$
ersetzt werden m\"ussen.
\end{vorsicht}

Auch die Definition von $\We_* V$ im oben zitierten Buch von Warner weicht etwas von unseren Definitionen
ab, dieser Unterschied ist aber nur formaler Natur und hat unter anderem keinen Einflu\ss{} auf 
Formel \eref{detformel}.
\end{document}

















