Multilineare Algebra

Handout zur Vorlesung Differentialgeometrie, WS 1998/99 Prof. Chr. Bär verfaßt von Bernd Ammann

Literatur

Frank Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Kapitel 2

1 Tensoren

Motivation. In diesem Handout wollen wir das zentrale Objekt der multilinearen Algebra, die Tensoren, einführen. Der Begriff ”Tensor“ stellt die Begriffe ”Vektor“, ”Linearform“, ”lineare Abbildung“, ”Bilinearform“, ”Multilinearform“ und viele andere in einen einheitlichen Formalismus. Tensoren sind wichtige Objekte sowohl in der Mathematik (Riemannsche Geometrie, Darstellungstheorie, Knotenthorie,…) als auch in der Physik (Allgemeine Relativitätstheorie, klassische Feldtheorie, klassische Mechanik, Quantenphysik, …). Um den Formalismus einfach zu gestalten, wollen wir uns hier auf Tensoren über endlich-dimensionalen Vektorräumen beschränken.

Im folgenden sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ (oder allgemeiner ein Körper der Charakterisitik 0). Weiter seien V, W und U immer endlich-dimensionale Vektorräume über 𝕂. Der Dualraum von V ist der Vektorraum aller linearen Abbildungen V → 𝕂; wir bezeichnen ihn mit V^{∗}. Die Elemente von V, W und U nennen wir v, w und u, evtl. mit Indizes versehen, die Elemente der Dualräume bezeichnen wir mit α, β,…. Aufgrund der endlichen Dimension können wir V^{∗∗} mit V identifizieren. Dabei wird v ∈ V mit der Linearform V^{∗} → 𝕂, α ↦ α(v), identifiziert.

Sei F (V, W) die Menge aller Abbildungen A : V ×W → 𝕂 mit der Eigenschaft, daß A^{−1}(𝕂−{0}) endlich ist. Man beachte, daß die Elemente von A im allgemeinen keine linearen Abbildungen sind. Wir machen F (V, W) zu einem Vektorraum, indem wir für für f, g ∈ F (V, W) und a ∈ 𝕂 setzen

(af)(v, w) := a(f(v, w))
(f + g)(v, w) := f(v, w) + g(v, w)

Der Vektorraum F (V, W) heißt der freie Vektorraum über 𝕂 der von den Punkten von V × W erzeugt wird. Wir definieren nun [v, w] ∈ F (V, W) durch

[v, w](v′, w′) = \{ \begin{matrix}1  für v′ = v und w′ = w, \\ 0  sonst. \end{matrix}

Die Menge {[v, w] | v ∈ V, w ∈ W } ist eine Basis von F (V, W).

Nun sei R(V, W) der Unterraum von F (V, W) der von allen Elementen der Form

\begin{matrix}[v_{1} + v_{2}, w] − [v_{1}, w] − [v_{2}, w] \\ [v, w_{1} + w_{2}] − [v, w_{1}] − [v, w_{2}] \\ [av, w] − a[v, w] \\ [v, aw] − a[v, w] \end{matrix}  (1)

erzeugt wird.

Definition. Der Quotientenvektorraum F (V, W)/R(V, W) heißt das Tensorprodukt von V und W über 𝕂 und wird mit V ⊗W bezeichnet. Die Äquivalenzklasse in V ⊗W die von dem Element [v, w] repräsentiert wird, bezeichnen wir mit v ⊗ w.

Aus (1) erhalten wir die folgenden Relationen in V ⊗ W:

(v_{1} + v_{2}) ⊗ w = v_{1} ⊗ w + v_{2} ⊗ w
v ⊗ (w_{1} + w_{2}) = v ⊗ w_{1} + v ⊗ w_{2}
a(v ⊗ w) = (av) ⊗ w = v ⊗ (aw).

Bemerkung. Nicht jedes Element von V ⊗ W läßt sich in der Form v ⊗ w schreiben. Die Elemente der Form v ⊗ w erzeugen aber V ⊗ W. Jedes Element von V ⊗ W kann deswegen in der Form ∑ v_{i} ⊗ w_{i} geschrieben werden. Kennt man die Werte einer linearen Abbildung F : V ⊗ W → U auf den Elementen der Form v ⊗ w, berechnet sich daraus für ein beliebiges Element ∑ v_{i} ⊗ w_{i} ∈ V ⊗ W

F (∑ v_{i} ⊗ w_{i}) = ∑ F (v_{i} ⊗ w_{i}).

Beispiele.

1.) Sind {e_{i} | i = 1, …, n} und {f_{j} | j = 1, …, m} Basen von V und W, dann ist {e_{i}⊗f_{j} | i = 1, …, n; j = 1, …, m} eine Basis von V ⊗ W.

2.) Es gilt 𝕂^{n} ⊗ 𝕂^{m} ≅ 𝕂^{nm}

3.) Es gibt genau einen Vektorraumisomorphismus V ⊗ W → W ⊗ V, der jedes v ⊗ w auf w ⊗ v abbildet.

4.) Es gibt genau einen Vektorraumisomorphismus V ⊗(W ⊗U) ≅ (V ⊗W)⊗U, der jedes v ⊗(w ⊗u) auf (v ⊗ w) ⊗ u abbildet. Wir schreiben deswegen abkürzend V ⊗ W ⊗ U := V ⊗ (W ⊗ U) → (V ⊗ W) ⊗ U.

5.) Der Vektorraum der linearen Abbildungen V → W kann mit V^{∗} ⊗ W identifiziert werden. Dabei entspricht α ⊗ w dem Homomorphismus v ↦ α(v) · w

6.) Der Vektorraum der Bilinearformen V × W → 𝕂 kann mit V^{∗} ⊗ W^{∗} identifiziert werden. Man kann deswegen V ⊗ W auch als Vektorraum der Bilinearformen V^{∗} × W^{∗} → 𝕂 interpretieren. Dabei entspricht α ⊗ β der Biliearform (v, w) ↦ α(v) · β(w).

7.) Betrachten wir ℂ als reellen zwei-dimensionalen Vektorraum, dann können wir für jeden reellen Vektorraum V das Tensorprodukt mit ℂ über dem Körper der reellen Zahlen bilden

V_{ℂ} := V ⊗ ℂ.

V_{ℂ} heißt die Komplexifizierung von V. Der zunächst reelle Vektorraum V_{ℂ} wird zum komplexen Vektorraum, wenn wir

a · (v ⊗ z) := v ⊗ (az) ∀a, z ∈ ℂ, v ∈ V

definieren.

Definition. Zu jedem Vektorraum V und jedem r, s ≥ 0 assoziieren wir den Tensorraum _{⨂r,s}V vom Typ (r, s)

⨂r,sV := \underbrace{V ⊗ ⋯ ⊗ V}_{r-mal} ⊗ \underbrace{V^{∗} ⊗ ⋯ ⊗ V^{∗}}_{s-mal} .

Für den Spezialfall r = s = 0 definieren wir _{⨂0,0}V := 𝕂. Die Elemente von _{⨂r,s}V heißen homogene Tensoren vom Typ (r, s).

Die direkte Summe

⨂∗,∗V := ∑_{r,s≥0}_{⨂r,s}V

nennen wir die Tensoralgebra von V. Elemente von _{⨂∗,∗}V heißen Tensoren. Wir definieren eine Multiplikation auf_{⨂∗,∗}V wie folgt: zu u = u_{1}⊗…⊗u_{r}⊗α_{1}⊗…⊗α_{s} ∈ _{⨂r,s}V und v = v_{1}⊗…⊗v_{r′}⊗β_{1}⊗…⊗β_{s′} ∈ ⨂r_{′},s_{′}V definieren wir ihr Produkt u ⊗ v ∈ _{⨂r+r_{′},s+s_{′}}V als

u ⊗ v := u_{1} ⊗ … ⊗ u_{r} ⊗ v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r′} ⊗ α_{1} ⊗ … ⊗ α_{s} ⊗ β_{1} ⊗ … ⊗ β_{s′}.

Diese Definition läßt sich auf eindeutige Art und Weise zu einer bilinearen Abbildung

⊗ : _{⨂∗,∗}V ×_{⨂∗,∗}V → _{⨂∗,∗}V

fortsetzen.

⨂∗,∗V ist zusammen mit der Multiplikation ⊗ eine nicht-kommutative, assoziative und graduierte Algebra. ”Graduiert“ bedeutet hierbei, daß

⨂r,sV ⊗_{⨂r_{′},s_{′}}V ⊂ _{⨂r+r_{′},s+s_{′}}V.

Interpretation. Einen homogenen Tensor vom Grad (r, s), etwa u_{1} ⊗ ⋯ ⊗ u_{r} ⊗ α_{1} ⊗ ⋯ ⊗ α_{s}, kann man interpretieren als

1.) multilineare Abbildung

\underbrace{V × ⋯ × V}_{s-mal} → _{⨂r,0}V,
(v_{1}, …, v_{s}) ↦ α_{1}(v_{1}) ⋯ α_{s}(v_{s}) · u_{1} ⊗ ⋯ ⊗ u_{r}

2.) multilineare Abbildung

\underbrace{V^{∗} × ⋯ × V^{∗}}_{r-mal} → _{⨂0,s}V,
(β_{1}, …, β_{r}) ↦ β_{1}(u_{1}) ⋯ β_{r}(u_{r}) · α_{1} ⊗ ⋯ ⊗ α_{s}

3.) lineare Abbildung

⨂s,0V → _{⨂r,0}V
v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{s} ↦ α_{1}(v_{1}) ⋯ α_{s}(v_{s}) · u_{1} ⊗ ⋯ ⊗ u_{r}

4.) lineare Abbildung

⨂0,rV → _{⨂0,s}V
β_{1} ⊗ ⋯ ⊗ β_{r} ↦ β_{1}(u_{1}) ⋯ β_{r}(u_{r}) · α_{1} ⊗ ⋯ ⊗ α_{s}

5.) Linearform auf _{⨂s,r}V,

⨂s,rV → 𝕂
v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{s} ⊗ β_{1} ⊗ ⋯ ⊗ β_{r} ↦ α_{1}(v_{1}) ⋯ α_{s}(v_{s}) · β_{1}(u_{1}) ⋯ β_{r}(u_{r})
Also können wir _{⨂r,s}V mit (_{⨂s,r}V )^{∗} identifizieren.

Beispiele.

1.) Vektoren sind Tensoren vom Grad (1, 0), Linearformen sind Tensoren vom Grad (0, 1).

2.) Eine lineare Abbildung ein Tensor vom Grad (1, 1).

3.) Ein Skalarprodukt auf dem reellen Vektorraum V ist ein Tensor vom Grad (0, 2). 4.) Ein hermitesches Skalarprodukt auf dem komplexen Vektorraum V ist kein Tensor über dem Körper

ℂ, da das Skalarprodukt in einer Komponente antilinear ist. 5.) Eine Determinantenfunktion auf einem s-dimensionalen Vektorraum V ist eine alternierende, multi-

lineare Abbildung

\underbrace{V × ⋯ × V}_{s-mal} → 𝕂,

also ein Tensor vom Grad (0, k).

2 Alternierende Tensoren

Dieses Kapitel wird sich mit einer speziellen Klasse von Tensoren beschäftigen, den alternierenden Tensoren. Wir definieren zunächst den Alternierungs-Operator

Alt_{r} : _{⨂r,0}V → _{⨂r,0}V
v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r} ↦ ∑_{σ} sign(σ)v_{σ(1)} ⊗ … ⊗ v_{σ(r)},

wobei die Summation über alle Permutationen σ von {1, …, r} geht. Die Abbildung Alt_{r} ist bis auf eine Konstante r! eine Projektion, d. h. sie erfüllt

\frac{1}{r!}Alt_{r} = (\frac{1}{r!}Alt_{r}) ∘ (\frac{1}{r!}Alt_{r}) .

Definition. Das Bild von Alt_{r} bezeichnen wir mit ⋀_{r}V. Für einen homogenen Tensor ω ∈ _{⨂r,0}V sind äquivalent: 1.) ω ∈ ⋀_{r}V, 2.) Alt(ω) = r! · ω, 3.) ω(α_{1}, …, α_{r}) = 0 falls α_{1}, …, α_{r} ∈ V^{∗} linear abhängig sind, 4.) ω(α_{σ(1)}, …, α_{σ(r)}) = sign(σ)ω(α_{1}, …, α_{r}) für alle Permutationen σ und alle Linearformen α_{1}, …, α_{r} ∈

V^{∗}. Hieraus folgt unter anderem ⋀_{r}V = 0 für r > dim V. Wir bilden nun die Summe

⋀_{∗}V := ⨁_{r≥0} ⋀_{r}V.

Definition. Das Dach-Produkt

∧ : ⋀_{∗}V × ⋀_{∗}V → ⋀_{∗}V
(ν, ω) ↦ ν ∧ ω

ist die eindeutig bestimmte bilineare Abbildung, die ⋀_{r}V × ⋀_{s}V in ⋀_{r+s}V abbildet und für die das Diagramm

⨂r,0V ×_{⨂s,0}V ⟶^{⊗} _{⨂r+s,0}V
Alt_{r}×Alt_{s}↓ ↓Alt_{r+s}
⋀_{r}V × ⋀_{s}V ⟶^{∧} ⋀_{r+s}V

(2) für alle r und s kommutiert.

Damit dieses Dach-Produkt wohldefiniert ist, muß man sich natürlich noch überlegen, daß solch eine Abbildung überhaupt existiert und durch die obige Forderung eindeutig bestimmt ist.

Eigenschaften.

1.) Das Dachprodukt ist assoziativ, also τ ∧ (ν ∧ ω) = (τ ∧ ν) ∧ ω.

2.) Für τ ∈ ⋀_{r}V und ω ∈ ⋀_{s}V gilt τ ∧ ω = (−1)^{rs}ω ∧ τ

⋀_{∗}V bildet also mit der Multiplikation ∧ eine graduierte nicht-kommutative, assoziative Algebra, die sogenannte äußere Algebra oder Grassmann-Algebra von V.

Bemerkung. Genauso wie wir zu dem Vektorraum V die äußere Algebra ⋀_{∗}V bilden können, können wir zum Dualraum V^{∗} die äußere Algebra ⋀_{∗}V^{∗} bilden. Die Algebra ⋀_{∗}V^{∗} wird in der Differentialgeometrie häufig gebraucht. Die Elemente heißen Formen, die Elemente von ⋀_{r}V^{∗} heißen (alternierende) r-Formen oder Formen vom Grad r. Mit der obigen Interpretation ist eine r-Form eine alternierende, multilineare Abbildung

\underbrace{V × ⋯ × V}_{r-mal} → 𝕂

Beispiele.

1.) Konstanten sind 0-Formen, Linearformen sind 1-Formen

2.) Determinantenfunktionen auf einem s-dimensionalen Vektorraum sind s-Formen

3.) Sind α_{1}, …, α_{r} Linearformen auf V und v_{1}, …, v_{r} Vektoren in V, dann berechnet sich

α_{1} ∧ … ∧ α_{r}(v_{1}, …, v_{r}) = det (α_{i}(v_{j}))_{i,j∈{1,...,r}}  (3)

Vorsicht. Es gibt in der Literatur teilweise verschiedene Konventionen. In manchen Büchern wird im Diagramm (2) die Abbildung (1/r!)Alt_{r} anstelle von Alt_{r} verwendet. Aus dieser unterschiedlichen Konvention ergeben sich eine Reihe von anderen Vorfaktoren. Unter anderem würde dann die Formel (3) durch

α_{1} ∧ … ∧ α_{r}(v_{1}, …, v_{r}) = \frac{1}{r!} det (α_{i}(v_{j}))_{i,j∈\{1,...,r\}}

ersetzt werden müssen.

Auch die Definition von ⋀_{∗}V im oben zitierten Buch von Warner weicht etwas von unseren Definitionen ab, dieser Unterschied ist aber nur formaler Natur und hat unter anderem keinen Einfluß auf Formel (3).