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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"'}
    
    {\bf WS 1998/99 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 15  \hfill  1.\ Februar 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\textbf{Korrigierte Version}

\vspace{1ex}
\a Sei $(N,g^N)$ eine $n$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Wir versehen $M:=I\times N$ mit der semi-Riemannschen Metrik 
$g^M:= -dt^2 + f(t)^2\, g^N$, wobei $f:I\to \mR$ eine
positive glatte Funktion ist, $I\subset\mR$ ein offenes Intervall.
Eine Metrik von dieser Form hei\ss{}t \emph{verzerrte Produktmetrik}.
F\"ur festes $t\in I$ ist $\{t\}\times N$ eine semi-Riemannsche Hyperfl\"ache vom 
Signum $\ep=-1$. Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item F\"ur die Weingarten-Abbildung $S$ von $\{t\}\times N$ bez\"uglich des Normalenfeldes
$b_t$ gilt:
  $$S=- {\dot{f}\over f}\cdot \Id.$$
(Hinweis: Koszul-Formel.)
\item F\"ur festes $x\in N$ ist die Kurve $t\mapsto (t,x)$ eine Geod\"atische in $(M,g^M)$.
\item Seien $x^1,\dots,x^n$ lokale Koordinaten f\"ur $N$. Setze $x^0:= t$.
Wir bezeichnen die Christoffelsymbole f\"ur $(M,g^M)$ mit $\Ga_{ij}^k$, $0\leq i,j,k\leq n$,
diejenigen f\"ur $(N,g^N)$ mit $\Ga_{ij}^{N,k}$, $1\leq i,j,k\leq n$.
Dann gilt f\"ur $1\leq i,j,k\leq n$:
\begin{eqnarray*}
\Ga_{ij}^k& =& \Ga_{ij}^{N,k}\\
\Ga_{ij}^0& =& \dot{f} f g^N_{ij}\\
\Ga_{i0}^i& =& \Ga_{0i}^i= {\dot{f}\over f}\,.\qquad\mbox{(keine Summation \"uber $i$.)}
\end{eqnarray*}
Die restlichen Christoffelsymbole f\"ur $(M,g^M)$ verschwinden.
\item Eine Kurve $s\mapsto (t(s),\ga(s))$ ist Geod\"atische in $M$ genau dann, wenn
\begin{eqnarray*}
t''(s) & = & -g^N\Big(\ga'(s),\ga'(s)\Big)\, f(t(s)) \dot{f}(t(s)),\\
{\na^N\over ds} \ga'(s) & = & -2\, {\dot{f}(t(s))\over f(t(s))} \cdot t'(s)\cdot \ga'(s).
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\pagebreak
\a Die Voraussetzungen seien wie in Aufgabe~1. Den Riemannschen Kr\"ummungstensor f\"ur $(M,g^M)$ bezeichnen wir mit $\lipot{R}{M}$, denjenigen f\"ur $(N,g^N)$ mit $\lipot{R}{N}$.
Analog f\"ur die Ricci- und die Skalarkr\"ummung.
Seien $X,Y,Z$ Tangentialvektoren an $N$ bzw.\ $\{t\}\times N\subset M$.

Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item
\begin{eqnarray*}
\lipot{R}{M}(X,Y)Z & = & \lipot{R}{N}(X,Y)Z - {\dot{f}}^2 \, \Big\{ g^N(X,Z)\, Y -g^N(Y,Z) X\Big\},\\
\lipot{R}{M}(X,b_t)Y & = & -f\ddot{f}\, g^N(X,Y)\cdot b_t,\\
\lipot{R}{M}(X,b_t)b_t & = & -{\ddot{f}\over f} X
\end{eqnarray*}
\item 
\begin{eqnarray*}
\lipot{\ric}{M}(X,Y)&=& \lipot{\ric}{N}(X,Y) + 
\left(f\ddot{f} + (n-1) {\dot{f}}^2\right)\, g^N(X,Y),\\
\lipot{\ric}{M}(X,b_t)& = & 0,\\
\lipot{\ric}{M}(b_t,b_t)& = & -n {\ddot{f}\over f},\\ 
\lipot{\scal}{M}&=& {1\over f^2}\left(\lipot{\scal}{N} + 2n f\ddot{f}+ n(n-1)
{\dot{f}}^2\right). 
\end{eqnarray*}
\item Verifizieren Sie die Formel aus der Vorlesung f\"ur den Energie-Impuls-Tensor 
f\"ur Robertson-Walker-Raumzeiten.
\end{enumerate}

\a Wir betrachten nun ein Staubuniversum unter Annahme der Einsteinschen 
Feldgleichungen mit nichttrivialer kosmologischer Konstante $\La$. 
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item Gilt f\"ur die Massendichte $\rho=T(U,U)\geq 0$ und f\"ur
die kosmologische Konstante $\La\leq 0$, so ist
$\ddot{f}\leq 0$, d.\thinspace h.\ die Ausdehnungsrate des Universums nimmt nicht zu.
\item Gilt $\La>{H_0(t_0)}^2 + {(\ka/ f(t_0)^2)}$, wobei $H_0(t_0)$ die 
Hubble-Konstante ist, so nimmt die Ausdehungsrate zum Zeitpunkt $t_0$ zu, 
d.\thinspace h.\ $\ddot{f}(t_0)>0$.
\end{enumerate}

\a Zeigen Sie: Jede Robertson-Walker-Raumzeit (mit $\La=0$), die gleichzeitig Vakuuml\"osung ist, ist flach.
Welche Verzerrungsfunktionen $f$ und welche $\ka$ kommen in Frage?
Zeigen Sie ferner, da\ss{} die Robertson-Walker-Raumzeit mit $f(t)=t$, $I=(0,\infty)$ 
und $N=H^3$, $\ka=-1$, isometrisch zu einer offenen Teilmenge
des Minkowski-Raumes ist.
 

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  8.\ Februar 1999 in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










