Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ WS 1998/99 bei Prof. C. Bär Blatt 15 1. Februar 1999

Korrigierte Version

1 Sei (N, g^{N}) eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit. Wir versehen M := I × N mit der semi-Riemannschen Metrik g^{M} := −dt^{2} + f(t)^{2} g^{N}, wobei f : I → ℝ eine positive glatte Funktion ist, I ⊂ ℝ ein offenes Intervall. Eine Metrik von dieser Form heißt verzerrte Produktmetrik. Für festes t ∈ I ist {t}×N eine semi-Riemannsche Hyperfläche vom Signum ε = −1. Zeigen Sie:

(a) Für die Weingarten-Abbildung S von {t} × N bezüglich des Normalenfeldes b_{t} gilt:

S = −\frac{ḟ}{f} · Id.

(Hinweis: Koszul-Formel.)

(b) Für festes x ∈ N ist die Kurve t ↦ (t, x) eine Geodätische in (M, g^{M}).

(c) Seien x^{1}, …, x^{n} lokale Koordinaten für N. Setze x^{0} := t. Wir bezeichnen die Christoffelsymbole für (M, g^{M}) mit Γ_{ij}^{k}, 0 ≤ i, j, k ≤ n, diejenigen für (N, g^{N}) mit Γ_{ij}^{N,k}, 1 ≤ i, j, k ≤ n. Dann gilt für 1 ≤ i, j, k ≤ n:

Γ_{ij}^{k} = Γ_{ij}^{N,k}
Γ_{ij}^{0} = ḟfg_{ij}^{N}
Γ_{i0}^{i} = Γ_{0i}^{i} = \frac{ḟ}{f} . (keine Summation über i.)

Die restlichen Christoffelsymbole für (M, g^{M}) verschwinden.

(d) Eine Kurve s ↦ (t(s), γ(s)) ist Geodätische in M genau dann, wenn

t′′(s) = −g^{N}(γ′(s), γ′(s)) f(t(s))ḟ(t(s)),
\frac{∇^{N}}{ds} γ′(s) = −2 \frac{ḟ(t(s))}{f(t(s))} · t′(s) · γ′(s).

2 Die Voraussetzungen seien wie in Aufgabe 1. Den Riemannschen Krümmungstensor für (M, g^{M}) bezeichnen wir mit R^{M}, denjenigen für (N, g^{N}) mit R^{N}. Analog für die Ricci- und die Skalarkrümmung. Seien X, Y, Z Tangentialvektoren an N bzw. {t} × N ⊂ M. Zeigen Sie:

(a)

R^{M}(X, Y)Z = R^{N}(X, Y)Z − ḟ^{2} {g^{N}(X, Z) Y − g^{N}(Y, Z)X},
R^{M}(X, b_{t})Y = −ff̈g^{N}(X, Y) · b_{t},
R^{M}(X, b_{t})b_{t} = −\frac{f̈}{f}X

(b)

ric^{M}(X, Y) = ric^{N}(X, Y) + (ff̈+ (n − 1)ḟ^{2}) g^{N}(X, Y),
ric^{M}(X, b_{t}) = 0,
ric^{M}(b_{t}, b_{t}) = −n\frac{f̈}{f},
scal^{M} = \frac{1}{f^{2}} (scal^{N} + 2nff̈+ n(n − 1)ḟ^{2}) .

(c) Verifizieren Sie die Formel aus der Vorlesung für den Energie-Impuls-Tensor für Robertson-Walker-Raumzeiten.

3 Wir betrachten nun ein Staubuniversum unter Annahme der Einsteinschen Feldgleichungen mit nichttrivialer kosmologischer Konstante Λ. Zeigen Sie:

(a) Gilt für die Massendichte ρ = T (U, U) ≥ 0 und für die kosmologische Konstante Λ ≤ 0, so ist f̈ ≤ 0, d. h. die Ausdehnungsrate des Universums nimmt nicht zu.

(b) Gilt Λ > H_{0}(t_{0})^{2} + (κ/f(t_{0})^{2}), wobei H_{0}(t_{0}) die Hubble-Konstante ist, so nimmt die Ausdehungsrate zum Zeitpunkt t_{0} zu, d. h. f̈(t_{0}) > 0.

4 Zeigen Sie: Jede Robertson-Walker-Raumzeit (mit Λ = 0), die gleichzeitig Vakuumlösung ist, ist flach. Welche Verzerrungsfunktionen f und welche κ kommen in Frage? Zeigen Sie ferner, daß die Robertson-Walker-Raumzeit mit f(t) = t, I = (0, ∞) und N = H^{3}, κ = −1, isometrisch zu einer offenen Teilmenge des Minkowski-Raumes ist.

Abgabe: Montag, 8. Februar 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo