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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"'}
    
    {\bf WS 1998/99 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 14  \hfill  25.\ Januar 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
\vspace{1ex}
\a Zum \emph{Zwillingsparadoxon}.
Peter und Paul seien 26~Jahre alt, als Peter die Erde mit einem 
Raumschiff verl\"a\ss{}t. Er entfernt sich zun\"achst mit konstanter 
halber Lichtgeschwindigkeit, macht abrupt kehrt 
und n\"ahert sich der Erde wieder mit konstanter halber 
Lichtgeschwindigkeit.
Bei ihrem Wiedersehen auf der Erde ist Paul 30 Jahre alt. 
Wie alt ist Peter?

\a Der \emph{Schwarzschild-Streifen}.
Sei $M>0$ eine Konstante. Wir versehen 
  $$P_I^M:=\left\{ (t,r) \in \mR^2\,|\,0<r<2M\right\}$$
mit der Lorentz-Metrik 
  $$ds^2 = - h(r)\, dt^2 + {1\over  h(r)} \, dr^2,$$
wobei $h(r)= 1-(2M/r)$ wie bei der Schwarzschild-Halbebene.
Dann hei\ss{}t $(P_I^M,ds^2)$ \emph{Schwarzschild-Streifen}.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Geben Sie eine Zeitorientierung von $(P_I^M, ds^2)$ an
und skizzieren Sie die Lichtkegel zusammen mit der Zeitorientierung.
Vergleichen Sie dies mit den Verh\"altnissen in der 
Schwarzschild-Halbebene.
\item Berechnen Sie die Gau\ss{}-Kr\"ummung von $(P_I^M,ds^2)$.
\end{enumerate}

\a Wir identifizieren die Poincar\'e-Halbebene $(\cH,\goH)$ aus
Aufgabe~1, Blatt~11, mit 
  $$\cH = \left\{ x+iy\in\mC\,|\, x,y\in \mR,\, y>0\right\}. $$
Sei $\SL(2,\mR)= \left\{
\bmatrix{a & b \\c& d}
\,\bigg|\, a,b,c,d\in\mR 
\mbox{ und } ad-bc=1\right\}$.

Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item F\"ur $\bmatrix{a & b \\ c & d}\in \SL(2,\mR)$ ist die Abbildung
  $$z\mapsto {az+b\over cz+d}$$
eine Isometrie von $(\cH,\goH)$.
\item Setze $p:=i\in \cH$ und 
      $X_0:= \stelle{{d\over dt}(i+t)}{t=0}\in T_p\cH$.
      Dann gibt es zu jedem $z\in\cH$ und jedem $X\in T_z\cH$, $\|X\|=1$ genau 
      zwei Elemente von $\SL(2,\mR)$, die $p$ auf $z$ und $X_0$ auf $X$ 
      abbilden.
\item Die Isometriegruppe $\Isom(\cH,\goH)$ ist isomorph zu
    $$\PSL(2,\mR):= \rquot{\SL(2,\mR)}
         {\Big\{\pm\Big(\cmatrix{\scriptstyle 1 &\scriptstyle  0 \\ \scriptstyle 0 & \scriptstyle 1}\Big)\Big\}}$$
\end{enumerate} 
\a Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit $(M,g)$ ist die L\"ange einer Kurve
$c:[a,b]\to M$ definiert durch
  $$L[c] := \int_a^b \sqrt{g(\dot c(t), \dot c(t))}\,dt.$$
F\"ur zwei Punkte aus dem hyperbolischen Raum,
$p,q\in H^n$, sei $c_{pq}:[0,1]\to H^n$ die eindeutige 
Geod\"atische mit $c_{pq}(0)=p$ und $c_{pq}(1)=q$. 
Wir definieren den \emph{hyperbolischen Abstand} durch 
  $$\dhyp(p,q) := L[c_{pq}].$$

Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\cosh (\dhyp (p,q)) = - \llan p,q \rran$, wobei 
$\llan\cdot\,,\,\cdot\rran$ das Minkowski-Skalarprodukt 
des umgebenden $\mR^{n+1}$ ist, das die hyperbolische Metrik auf $H^n$ 
induziert.
\item Seien $p,q\in H^3$. Dann haben die beiden relativistischen Beobachter
 mit den Weltlinien $\mR\cdot p$ und $\mR\cdot q$ 
die betragsm\"a\ss{}ige Relativgeschwindigkeit
$\tanh(\dhyp(p,q))$.
\item \emph{Relativistische Geschwindigkeitsaddition}.
$B_1$, $B_2$ und $B_3$ seien gleichf\"ormig bewegte Beobachter, die sich
im Ereignis $(0,0,0,0)$ treffen.
Der Beobachter $B_2$ entferne sich von $B_1$ mit der betragsm\"a\ss{}igen
Geschwindigkeit $v_1$.
Analog entferne sich $B_3$ von $B_2$ in derselben Richtung mit 
Geschwindigkeit $v_2$.
Dann entfernt sich $B_3$ von $B_1$ mit der Geschwindigkeit
  $$v = {v_1 + v_2\over 1+v_1v_2}.$$
Hinweis: Benutzen sie das Additionstheorem f\"ur $\tanh$.
\end{enumerate}
\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  1.\ Februar 1999 in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










