Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ WS 1998/99 bei Prof. C. Bär Blatt 14 25. Januar 1999

1 Zum Zwillingsparadoxon. Peter und Paul seien 26 Jahre alt, als Peter die Erde mit einem Raumschiff verläßt. Er entfernt sich zunächst mit konstanter halber Lichtgeschwindigkeit, macht abrupt kehrt und nähert sich der Erde wieder mit konstanter halber Lichtgeschwindigkeit. Bei ihrem Wiedersehen auf der Erde ist Paul 30 Jahre alt. Wie alt ist Peter?

2 Der Schwarzschild-Streifen. Sei M > 0 eine Konstante. Wir versehen

P_{I}^{M} := {(t, r) ∈ ℝ^{2} | 0 < r < 2M}

mit der Lorentz-Metrik

ds^{2} = −h(r) dt^{2} + \frac{1}{h(r)} dr^{2},

wobei h(r) = 1 − (2M/r) wie bei der Schwarzschild-Halbebene. Dann heißt (P_{I}^{M}, ds^{2}) Schwarzschild-Streifen.

(a) Geben Sie eine Zeitorientierung von (P_{I}^{M}, ds^{2}) an und skizzieren Sie die Lichtkegel zusammen mit der Zeitorientierung. Vergleichen Sie dies mit den Verhältnissen in der Schwarzschild-Halbebene.

(b) Berechnen Sie die Gauß-Krümmung von (P_{I}^{M}, ds^{2}).

3 Wir identifizieren die Poincaré-Halbebene (H, g_{H}) aus Aufgabe 1, Blatt 11, mit

H = {x + iy ∈ ℂ | x, y ∈ ℝ, y > 0} .

Sei SL(2, ℝ) = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) | a, b, c, d ∈ ℝ und ad − bc = 1\}.

Zeigen Sie:

(a) Für ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL(2, ℝ) ist die Abbildung

z ↦ \frac{az + b}{cz + d}

eine Isometrie von (H, g_{H}).

(b) Setze p := i ∈ H und X_{0} := \frac{d}{dt}(i + t)|_{t=0} ∈ T_{p}H. Dann gibt es zu jedem z ∈ H und jedem X ∈ T_{z}H, ∥X∥ = 1 genau zwei Elemente von SL(2, ℝ), die p auf z und X_{0} auf X abbilden.

(c) Die Isometriegruppe Isom(H, g_{H}) ist isomorph zu

PSL(2, ℝ) := SL(2, ℝ)/\{ ± ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )\}

4 Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) ist die Länge einer Kurve c : [a, b] → M definiert durch

L[c] := ∫_{a}^{b} \sqrt{g(ċ(t), ċ(t))} dt.

Für zwei Punkte aus dem hyperbolischen Raum, p, q ∈ H^{n}, sei c_{pq} : [0, 1] → H^{n} die eindeutige Geodätische mit c_{pq}(0) = p und c_{pq}(1) = q. Wir definieren den hyperbolischen Abstand durch

d_{hyp}(p, q) := L[c_{pq}].

Zeigen Sie:

(a) cosh(d_{hyp}(p, q)) = − ≪ p, q ≫, wobei ≪ · , · ≫ das Minkowski-Skalarprodukt des umgebenden ℝ^{n+1} ist, das die hyperbolische Metrik auf H^{n} induziert.

(b) Seien p, q ∈ H^{3}. Dann haben die beiden relativistischen Beobachter mit den Weltlinien ℝ · p und ℝ · q die betragsmäßige Relativgeschwindigkeit tanh(d_{hyp}(p, q)).

(c) Relativistische Geschwindigkeitsaddition. B_{1}, B_{2} und B_{3} seien gleichförmig bewegte Beobachter, die sich im Ereignis (0, 0, 0, 0) treffen. Der Beobachter B_{2} entferne sich von B_{1} mit der betragsmäßigen Geschwindigkeit v_{1}. Analog entferne sich B_{3} von B_{2} in derselben Richtung mit Geschwindigkeit v_{2}. Dann entfernt sich B_{3} von B_{1} mit der Geschwindigkeit

v = \frac{v_{1} + v_{2}}{1 + v_{1}v_{2}} .

Hinweis: Benutzen sie das Additionstheorem für tanh.

Abgabe: Montag, 1. Februar 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo