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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"'}
    
    {\bf WS 1998/99 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 13  \hfill  18.\ Januar 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
\vspace{1ex}
\a Sei $(M,g)$ eine der Riemannschen Mannigfaltigkeiten $(S^n,\gkan)$,
$(\mR^n,\geukl)$ oder $(H^n,\ghyp)$.
Sei $m\leq n$ und $p_0,\dots,p_m\in M$ paarweise verschieden.
Zeigen Sie: Es gibt eine zusammenh\"angende totalgeod\"atische Untermannigfaltigkeit
$M'\subset M$ der Dimension $m$ mit $p_0,\dots,p_m\in M'$. Ist $M'$ eindeutig?

\a Sei $M=\left\{(x,y,z)\in\mR^3\,|\,x^2+y^2=1+z^2\right\}$ der
\emph{Drehhyperboloid}.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie, da\ss{} $M\subset \mR^3$ eine $2$-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist,
und skizzieren Sie $M$.
\item Sei $g$ die Riemannsche Metrik auf $M$, induziert durch die euklidische Metrik $\geukl$ 
des~$\mR^3$. Berechnen Sie die Gau\ss{}-Kr\"ummung von $(M,g)$.
\item Welcher Breitenkreis $\{z=\const\}$ ist eine Geod\"atische von $(M,g)$? 
\end{enumerate}

\a Sei $M=\left\{x\in \mR^5\,|\, -(x^0)^2+(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^3+(x^4)^2=1\right\}$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie, da\ss{} $M$ eine semi-Riemannsche Hyperfl\"ache von $(\mR^5,\gMink)$ 
vom Signum $\ep=+1$ ist.
Die Mannigfaltigkeit~$M$ mit der induzierten Lorentz-Metrik hei\ss{}t \emph{de Sitter-Raumzeit}.
\item Berechnen Sie $R$, $K$, $\Ric$ und $\scal$.
\item Zeigen Sie: $M$ ist diffeomorph zu $\mR\times S^3$.
\item Geben Sie eine Zeitorientierung an.
\end{enumerate}

\a Konstruieren Sie eine Lorentz-Metrik auf $S^n$, $n\geq 3$, $n$ ungerade, mit 
Zeitorientierung.
Hinweis: Erinnern Sie sich an Aufgabe~3 von Blatt~4.

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  25.\ Januar 1999 in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










