Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ WS 1998/99 bei Prof. C. Bär Blatt 13 18. Januar 1999

1 Sei (M, g) eine der Riemannschen Mannigfaltigkeiten (S^{n}, g_{kan}), (ℝ^{n}, g_{eukl}) oder (H^{n}, g_{hyp}). Sei m ≤ n und p_{0}, …, p_{m} ∈ M paarweise verschieden. Zeigen Sie: Es gibt eine zusammenhängende totalgeodätische Untermannigfaltigkeit M′ ⊂ M der Dimension m mit p_{0}, …, p_{m} ∈ M′. Ist M′ eindeutig?

2 Sei M = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} = 1 + z^{2}} der Drehhyperboloid.

(a) Zeigen Sie, daß M ⊂ ℝ^{3} eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist, und skizzieren Sie M.

(b) Sei g die Riemannsche Metrik auf M, induziert durch die euklidische Metrik g_{eukl} des ℝ^{3}. Berechnen Sie die Gauß-Krümmung von (M, g).

(c) Welcher Breitenkreis {z = const} ist eine Geodätische von (M, g)?

3 Sei M = {x ∈ ℝ^{5} | − (x^{0})^{2} + (x^{1})^{2} + (x^{2})^{2} + (x^{3})^{3} + (x^{4})^{2} = 1}.

(a) Zeigen Sie, daß M eine semi-Riemannsche Hyperfläche von (ℝ^{5}, g_{Mink}) vom Signum ε = +1 ist. Die Mannigfaltigkeit M mit der induzierten Lorentz-Metrik heißt de Sitter-Raumzeit.

(b) Berechnen Sie R, K, Ric und scal.

(c) Zeigen Sie: M ist diffeomorph zu ℝ × S^{3}.

(d) Geben Sie eine Zeitorientierung an.

4 Konstruieren Sie eine Lorentz-Metrik auf S^{n}, n ≥ 3, n ungerade, mit Zeitorientierung. Hinweis: Erinnern Sie sich an Aufgabe 3 von Blatt 4.

Abgabe: Montag, 25. Januar 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo