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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"'}
    
    {\bf WS 1998/99 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 12  \hfill  11.\ Januar 1999}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
\vspace{1ex}
\a
Sei~$M\subset\bar M$ eine semi-Riemannsche Untermannigfaltigkeit.
Seien~$x^1$, \dots, $x^n$ Untermannigfaltigkeitskoordinaten,
d.h.~$M$ ist lokal gegeben durch~$x^{m+1}=\cdots=x^n=0$.
Seien~$b_{x^1}$, \dots, $b_{x^n}$ die zugeh\"origen Basisvektorfelder,
seien~$b_{x^{m+1}}$, \dots, $b_{x^n}$ normal zu~$M$.
Seien~$\bar\Gamma_{\!ij}^k$ die Christoffelsymbole von~$\bar M$ bez\"uglich
der Koordinaten~$x^1$, \dots, $x^n$.
Zeigen Sie folgende Formel f\"ur die zweite Fundamentalform von~$M$
in~$\bar M$:
        $$\II(b_{x^i},b_{x^j})=\sum_{k=m+1}^n\bar\Gamma_{\!ij}^kb_{x^k}\;,
                \hbox{f\"ur~$1\le i,j\le m$.}$$

\a
Sei~$\bar M$ eine flache semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit,
sei~$M\subset\bar M$ eine semi-Riemannsche Hyperfl\"ache
vom Signum~$\ep=\pm1$.
Sei~$S$ die Weingartenabbildung von~$M$ in~$\bar M$.
Zeigen Sie folgende Formel f\"ur die Ricci-Kr\"ummung von~$M$:
        $$\ric(X,Y)=\ep\cdot\bigl(\<S(X),Y\>\Spur(S)-\<S(X),S(Y)\>\bigr)\;.$$
Leiten Sie eine Formel f\"ur die Skalarkr\"ummung von~$M$ her.

\a
Seien~$M_1$, $M_2$ semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten,
sei~$\bar M=M_1\times M_2$ das Produkt mit Produktmetrik.
F\"ur~$p\in M_1$ setze~$M:=\{p\}\times M_2$.
Zeigen Sie,
da\ss~$M$ totalgeod\"atische Untermannigfaltigkeit von~$\bar M$ ist.

\a
Zeigen Sie:
Es gibt keine kompakten semi-Riemannschen Hyperfl\"achen des 
Minkowski-Raums~$(\mR^n,\gMink)$, $n\geq 2$.
Hinweis:
Zeigen Sie,
da\ss\ jede Hyperebene (auch jede ausgeartete) irgendwo tangential an die
Hyperfl\"ache w\"are.

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  18.\ Januar 1999 in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










