Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ WS 1998/99 bei Prof. C. Bär Blatt 12 11. Januar 1999

1 Sei M ⊂ M̄ eine semi-Riemannsche Untermannigfaltigkeit. Seien x^{1}, …, x^{n} Untermannigfaltigkeitskoordinaten, d.h. M ist lokal gegeben durch x^{m+1} = ⋯ = x^{n} = 0. Seien b_{x^{1}}, …, b_{x^{n}} die zugehörigen Basisvektorfelder, seien b_{x^{m+1}}, …, b_{x^{n}} normal zu M. Seien Γ̄_{ij}^{k} die Christoffelsymbole von M̄ bezüglich der Koordinaten x^{1}, …, x^{n}. Zeigen Sie folgende Formel für die zweite Fundamentalform von M in M̄:

II(b_{x^{i}}, b_{x^{j}}) = ∑_{k=m+1}^{n} Γ̄_{ij}^{k}b_{x^{k}} , für 1 ≤ i, j ≤ m.

2 Sei M̄ eine flache semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, sei M ⊂ M̄ eine semi-Riemannsche Hyperfläche vom Signum ε = ±1. Sei S die Weingartenabbildung von M in M̄. Zeigen Sie folgende Formel für die Ricci-Krümmung von M:

ric(X, Y) = ε · (⟨S(X), Y ⟩Spur(S) − ⟨S(X), S(Y)⟩) .

Leiten Sie eine Formel für die Skalarkrümmung von M her.

3 Seien M_{1}, M_{2} semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten, sei M̄ = M_{1} × M_{2} das Produkt mit Produktmetrik. Für p ∈ M_{1} setze M := {p} × M_{2}. Zeigen Sie, daß M totalgeodätische Untermannigfaltigkeit von M̄ ist.

4 Zeigen Sie: Es gibt keine kompakten semi-Riemannschen Hyperflächen des Minkowski-Raums (ℝ^{n}, g_{Mink}), n ≥ 2. Hinweis: Zeigen Sie, daß jede Hyperebene (auch jede ausgeartete) irgendwo tangential an die Hyperfläche wäre.

Abgabe: Montag, 18. Januar 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo