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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"'}
    
    {\bf WS 1998/99 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 11  \hfill  21.\ Dezember 1998}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

{\bfseries Die Vorlesung vom 23.12.1998 wird vorverlegt auf Mittwoch, den 23.12.1998, 9.15 Uhr!}

\vspace{1ex}
\a
Die Mannigfaltigkeit $\cH:=\{(x,y)\in\mR^2\,|\,y>0\}$
versehen mit der Riemannschen Metrik $\goH:=(1/y^2)\geukl$ hei\ss{}t 
\emph{Poincar\'e-Halbebene}. Sei $p\in \cH$.
Berechnen Sie die Christoffel-Symbole bez\"uglich der Standard-Karte und die 
Schnittkr\"ummung $K(E)$ f\"ur alle 2-dimensionalen Ebenen $E\subset T_p\cH$. 

\a
\emph{Pseudosph\"are}.
Zeigen Sie, da\ss{} die Menge 
  $$M:=\left\{\left(
    \begin{array}{c} e^{-u}\cos \ph\\ 
                     e^{-u}\sin \ph\\ 
                     \int_0^u \sqrt{1-e^{-2t}}\,dt
     \end{array}
    \right)\,\Bigg|\,u>0, \pi\in[0,2\pi]\right\}$$
eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit von $(\mR^3,\geukl)$ ist. 
Berechnen Sie die Gau\ss{}sche Kr\"ummung der 1. Fundamentalform von $M$.

\a Seien $(M_1,g_1)$ und $(M_2,g_2)$ zwei semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten.
Die Produktmannigfaltigkeit 
$M:=M_1\times M_2$ mit der Produktmetrik habe den Riemannschen Kr\"ummungstensor $R$,
Schnittkr\"ummung $K$, Ricci-Kr\"ummung $\ric$ und Skalarkr\"ummung $\scal$.
Die entsprechenden Gr\"o\ss{}en f\"ur $M_1$ und $M_2$ tragen den Index $1$ bzw.\ $2$.
Zeigen Sie f\"ur $p_i\in M_i$ und $X_i,Y_i,Z_i\in T_{p_i}M_i$, $i=1,2$:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $R(X_1+X_2,Y_1+Y_2)(Z_1+Z_2)= R_1(X_1,Y_1)Z_1 + R_2(X_2,Y_2)Z_2$,
\item $K(\spa\{X_1,Y_1\})=K_1(\spa\{X_1,Y_1\})$, sofern $\spa\{X_1,Y_1\}$ eine 
      nicht-ausgeartete Ebene ist,
\item $K(\spa\{X_1,X_2\})=0$, sofern $X_1$ und $X_2$ nicht null sind,
\item $\ric(X_1+X_2,Y_1+Y_2)=\ric_1(X_1,Y_1)+\ric_2(X_2,Y_2)$,
\item $\scal= \scal_1+\scal_2$.
\end{enumerate}
 
\a
Sei~$\bar M$ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit und~$E\subset T_p\bar M$
eine nicht-ausgeartete Ebene.
Zeigen Sie:
Es gibt eine Umgebung~$U\subset E$ von~$0\in E$,
so da\ss~$M:=\exp_p(U)$ eine semi-Riemannsche Untermannigfaltigkeit
von~$\bar M$ ist,
und es gilt~$K(p)=\bar K(E)$,
wobei~$K$ die Gau\ss{}-Kr\"ummung von $M$ und~$\bar K$ die Schnittkr\"ummung von~$\bar M$ 
bezeichnet.

\pagebreak
\a 
\textbf{Weihnachts-Extra-Aufgabe}.
Sei~$M$ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension~$\geq 3$.
Es gebe eine $C^\infty$-Funktion~$k\colon M\to\mR$,
so da\ss
	$$K(E)=k(p)$$
f\"ur alle~$p\in M$ und alle nicht-ausgearteten
Ebenen~$E\subset T_pM$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Seien~$X$, $Y$, $Z$, $W$ Vektorfelder auf~$M$,
und sei~$\nabla_XR$ wie in Aufgabe~4 vom letzten Blatt definiert.
Zeigen Sie, da\ss
\begin{eqnarray*}
	R(X,Y)Z
		&=&k\,\bigl(\lan Y,Z\ran X-\lan X,Z\ran Y\bigr)
			\qquad\qquad\hbox{und}\\
	(\nabla_{\!W}R)(X,Y)Z
		&=&\pa_Wk\,\bigl(\lan Y,Z\ran X-\lan X,Z\ran Y\bigr)\;.
\end{eqnarray*}
\item
Beweisen Sie mit Hilfe der 2.~Bianchi-Identit\"at aus Aufgabe~4(b) vom
letzten Blatt den \emph{Satz von Schur,}
wonach~$k$ lokal konstant ist.
\end{enumerate}

%\epsfbox{baum.ps}
\begin{center}
\epsfig{file=baum.ps, width=11cm}
\end{center}
\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  11.\ Januar 1999 in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










