Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ WS 1998/99 bei Prof. C. Bär Blatt 11 21. Dezember 1998

Die Vorlesung vom 23.12.1998 wird vorverlegt auf Mittwoch, den 23.12.1998, 9.15 Uhr!

1 Die Mannigfaltigkeit H := {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y > 0} versehen mit der Riemannschen Metrik g_{H} := (1/y^{2})g_{eukl} heißt Poincaré-Halbebene. Sei p ∈ H. Berechnen Sie die Christoffel-Symbole bezüglich der Standard-Karte und die Schnittkrümmung K(E) für alle 2-dimensionalen Ebenen E ⊂ T_{p}H.

2 Pseudosphäre. Zeigen Sie, daß die Menge

M := \{( \begin{matrix}e^{−u} cos φ \\ e^{−u} sin φ \\ ∫_{0}^{u} \sqrt{1 − e^{−2t}} dt \end{matrix} ) | u > 0, π ∈ [0, 2π]\}

eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit von (ℝ^{3}, g_{eukl}) ist. Berechnen Sie die Gaußsche Krümmung der 1. Fundamentalform von M.

3 Seien (M_{1}, g_{1}) und (M_{2}, g_{2}) zwei semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Die Produktmannigfaltigkeit M := M_{1} × M_{2} mit der Produktmetrik habe den Riemannschen Krümmungstensor R, Schnittkrümmung K, Ricci-Krümmung ric und Skalarkrümmung scal. Die entsprechenden Größen für M_{1} und M_{2} tragen den Index 1 bzw. 2. Zeigen Sie für p_{i} ∈ M_{i} und X_{i}, Y_{i}, Z_{i} ∈ T_{p_{i}}M_{i}, i = 1, 2:

(a) R(X_{1} + X_{2}, Y_{1} + Y_{2})(Z_{1} + Z_{2}) = R_{1}(X_{1}, Y_{1})Z_{1} + R_{2}(X_{2}, Y_{2})Z_{2},

(b) K(span{X_{1}, Y_{1}}) = K_{1}(span{X_{1}, Y_{1}}), sofern span{X_{1}, Y_{1}} eine nicht-ausgeartete Ebene ist,

(c) K(span{X_{1}, X_{2}}) = 0, sofern X_{1} und X_{2} nicht null sind,

(d) ric(X_{1} + X_{2}, Y_{1} + Y_{2}) = ric_{1}(X_{1}, Y_{1}) + ric_{2}(X_{2}, Y_{2}),

(e) scal = scal_{1} + scal_{2}.

4 Sei M̄ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit und E ⊂ T_{p}M̄ eine nicht-ausgeartete Ebene. Zeigen Sie: Es gibt eine Umgebung U ⊂ E von 0 ∈ E, so daß M := exp_{p}(U) eine semi-Riemannsche Untermannigfaltigkeit von M̄ ist, und es gilt K(p) = K̄(E), wobei K die Gauß-Krümmung von M und K̄ die Schnittkrümmung von M̄ bezeichnet.

5 Weihnachts-Extra-Aufgabe. Sei M eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension ≥ 3. Es gebe eine C^{∞}-Funktion k: M → ℝ, so daß

K(E) = k(p)

für alle p ∈ M und alle nicht-ausgearteten Ebenen E ⊂ T_{p}M.

(a) Seien X, Y, Z, W Vektorfelder auf M, und sei ∇_{X}R wie in Aufgabe 4 vom letzten Blatt definiert. Zeigen Sie, daß

R(X, Y)Z = k (⟨Y, Z⟩X − ⟨X, Z⟩Y )  und
(∇_{W} R)(X, Y)Z = ∂_{W} k (⟨Y, Z⟩X − ⟨X, Z⟩Y ) .

(b) Beweisen Sie mit Hilfe der 2. Bianchi-Identität aus Aufgabe 4(b) vom letzten Blatt den Satz von Schur, wonach k lokal konstant ist.

Abgabe: Montag, 11. Januar 1999 in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo