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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"'}
    
    {\bf WS 1998/99 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 10  \hfill  14.\ Dezember 1998}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a
Sei $M$ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, sei 
$c:\mR\to M$ eine Geod\"atische.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie:
Ist $c(0)=c(L)$ und $\dot c(0)=\dot c(L)$, so ist
$c$ periodisch, $c(t)=c(t+L)$ f\"ur alle $t\in \mR$.
\item Geben Sie ein Beispiel mit $c(0)=c(L)$ und $\dot c(0)\neq \dot c(L)$.
\end{enumerate}

\a
Sei $(M,g)=(\mR P^n,\gkan)$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich ${\cal D}$ der Exponentialabbildung.
\item Bestimmen Sie f\"ur $p\in \mR P^n$ den maximalen Radius $r>0$, \sd f\"ur den 
offenen $r$-Ball $B_r(0)\subset T_pM$ mit Mittelpunkt 0 die Exponentialabbildung 
auf $B_r(0)$ injektiv ist.
\end{enumerate}

\a 
Der Kr\"ummungstensor wird in lokalen Koordinaten durch die $n^4$ Komponenten 
$R_{kij}^l$ festgelegt. Zeigen Sie, da\ss{} die Symmetrien aus Proposition 10.3 
die Anzahl der unabh\"angigen Komponenten auf ${n^2(n^2-1)\over 12}$ 
reduziert.
Genauer:
Ist~$V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit nicht-ausgearteter
Bilinearform~$\lan\,\cdot\,,\cdot\,\ran$,
dann bildet die Menge aller multilinearen
Abbildungen~$R\colon V\times V\times V\to V$,
die den Symmetrien aus Proposition 10.3 gen\"ugen,
einen ${n^2(n^2-1)\over 12}$-dimensionalen Vektorraum.

\a
F\"ur Vektorfelder~$X$, $Y$, $Z$, $W$ auf einer semi-Riemannschen
Mannigfaltigkeit~$M$ definieren wir
	$$(\nabla_WR)(X,Y)Z
	:=\nabla_W\bigl(R(X,Y)Z\bigr)-R(\nabla_WX,Y)Z
		-R(X,\nabla_WY)Z-R(X,Y)\nabla_WZ\;.$$
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Zeigen Sie, da\ss~$[(\nabla_WR)(X,Y)Z](p)$ nur von~$X(p)$, $Y(p)$, $Z(p)$
und~$W(p)$ abh\"angt.
\item
Beweisen Sie die zweite Bianchi-Identit\"at:
	$$(\nabla_ZR)(X,Y)W+(\nabla_XR)(Y,Z)W+(\nabla_YR)(Z,X)W=0\;.$$
\end{enumerate}

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  21.\ Dezember in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










