Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ WS 1998/99 bei Prof. C. Bär Blatt 10 14. Dezember 1998

1 Sei M eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, sei c : ℝ → M eine Geodätische.

(a) Zeigen Sie: Ist c(0) = c(L) und ċ(0) = ċ(L), so ist c periodisch, c(t) = c(t + L) für alle t ∈ ℝ.

(b) Geben Sie ein Beispiel mit c(0) = c(L) und ċ(0) ≠ ċ(L).

2 Sei (M, g) = (ℝP^{n}, g_{kan}).

(a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D der Exponentialabbildung.

(b) Bestimmen Sie für p ∈ ℝP^{n} den maximalen Radius r > 0, s. d. für den offenen r-Ball B_{r}(0) ⊂ T_{p}M mit Mittelpunkt 0 die Exponentialabbildung auf B_{r}(0) injektiv ist.

3 Der Krümmungstensor wird in lokalen Koordinaten durch die n^{4} Komponenten R_{kij}^{l} festgelegt. Zeigen Sie, daß die Symmetrien aus Proposition 10.3 die Anzahl der unabhängigen Komponenten auf \frac{n^{2}(n^{2}−1)}{12} reduziert. Genauer: Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum mit nicht-ausgearteter Bilinearform ⟨ · , · ⟩, dann bildet die Menge aller multilinearen Abbildungen R: V × V × V → V, die den Symmetrien aus Proposition 10.3 genügen, einen \frac{n^{2}(n^{2}−1)}{12}-dimensionalen Vektorraum.

4 Für Vektorfelder X, Y, Z, W auf einer semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit M definieren wir

(∇_{W} R)(X, Y)Z := ∇_{W} (R(X, Y)Z) − R(∇_{W} X, Y)Z − R(X, ∇_{W} Y)Z − R(X, Y)∇_{W} Z .

(a) Zeigen Sie, daß [(∇_{W} R)(X, Y)Z](p) nur von X(p), Y (p), Z(p) und W (p) abhängt.

(b) Beweisen Sie die zweite Bianchi-Identität:

(∇_{Z}R)(X, Y)W + (∇_{X}R)(Y, Z)W + (∇_{Y} R)(Z, X)W = 0 .

Abgabe: Montag, 21. Dezember in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo