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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"'}
    
    {\bf WS 1998/99 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 9  \hfill  7.\ Dezember 1998}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a
Sei $M$ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, $c\colon I\to M$ eine glatte Kurve,
$\ph\colon J\to I$ eine glatte Parametertransformation. Sei $X$ ein glattes 
Vektorfeld l\"angs $c$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie: $Y=X\circ \ph$ ist ein glattes Vektorfeld l\"angs 
$c\circ \ph$ und es gilt
\begin{eqnarray*}
{\na\over dt}\, Y(t) & = & \dot\ph (t) \cdot \left({\na\over ds} X\right)(\ph(t))\cr
{\na^2\over dt^2}\,Y(t) & = & \ddot\ph(t) \cdot \left({\na\over ds} X\right)(\ph(t)) 
                              +{\dot\ph(t)}^2\cdot \left({\na^2\over ds^2} X\right)(\ph(t))
\end{eqnarray*}
Dabei haben wir den Parameter in $I$ mit $s$ und den in $J$ mit $t$ bezeichnet.
 
\item Zeigen Sie, da\ss{} f\"ur die Parallelverschiebung gilt:
  $$P_{t_1,t_2}^{c\circ \ph} = P_{\ph(t_1),\ph(t_2)}^c$$
\item Sei nun $c$ eine nicht-konstante Geod\"atische. Zeigen Sie:
$c\circ \ph$ ist ebenfalls eine Geod\"atische genau dann, wenn $\ph$ von der Form 
$\ph(t)=t_0+ \al\cdot t$ ist, $t_0,\al\in\mR.$
\end{enumerate}

\a 
Sei $S^2\subset \mR^3$ die 2-Sph\"are mit der Standardmetrik $g_{\mathrm{kan}}$.
Sei $c$ der Breitenkreis auf $S^2$ gegeben durch die H\"ohe $x^3=\mathrm{konstant}$.
Verschiebt man Tangentialvektoren parallel l\"angs $c$ (ein Umlauf), so werden sie um den
Winkel $\th$ gedreht.
Berechnen Sie $\th$ in Abh\"angigkeit von $x^3$ und der Umlaufsrichtung.

\a 
Sei $M=\mR^2\ohne \{(0,0)\}=\mC^*$ und $g=g_{\mathrm{eukl}}$.
Sei $k\in \mN$, $k\geq 2$.
Wir erkl\"aren eine \"Aquivalenzrelation auf $\mC^*$ wie folgt:
  $$z\sim w \quad \gdw\quad \exists m\in\mZ:\quad z=e^{2\pi i m \over k} \cdot w.$$
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Zeigen Sie: $M/\sim$ mit der Quotiententopologie besitzt eine Struktur als differenzierbare 
Mannigfaltigkeit, so da\ss{} die Restklassenprojektion
$\pi:M\to M/\sim$ ein lokaler Diffeomorphismus ist. 
\item 
Zeigen Sie: $M/\sim$ besitzt genau eine Riemannsche Metrik $\bar g$, so da\ss{} 
  $$\pi:(M,g_{\mathrm{eukl}})\to (M/\sim,\bar g)$$
eine lokale Isometrie ist.
\item Berechnen Sie die Parallelverschiebung $P_{0,(2\pi/k)}^c$, wobei 
$c(t)=[e^{it}]$ ist.
\item Illustrieren Sie (c) im Fall $k=3$ durch ein Papiermodell.
\end{enumerate}
\pagebreak
\a Sei $(M,g)$ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die Parallelverschiebung
kann auch l\"angs stetiger, st\"uckweise glatter Kurven in $M$ definiert werden. 
Ist n\"amlich $c:[a,b]\to M$ stetig, $a=t_0<t_1<\dots<t_N=b$ eine
Unterteilung und $\res{c}{[t_i,t_{i+1}]}$ glatt f\"ur alle $i=0,\dots, N-1$, so setzt man einfach
  $$P_{a,b}^c := P_{t_{N-1},t_N}^c\circ \cdots \circ P_{t_1,t_2}^c\circ P_{t_0,t_1}^c.$$
Zu jedem $p\in M$ definiert man die \textit{Holonomiegruppe} $\Hol_p(M,g)$ von $M$ in $p$
durch
  $$\Hol_p(M,g):= \left\{P_{a,b}^c\,|\,c:[a,b]\to M \mbox{ stetige, st\"uckweise glatte Kurve mit }
    c(a)=c(b)=p\right\}.$$
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie: $\Hol_p(M,g)$ ist Untergruppe der orthogonalen 
Gruppe $\O(T_pM,g_p)$.
\item Berechnen Sie $\Hol_p(\mR^n,\geukl)$, $\Hol_p(\mR^n,\gMink)$ und $\Hol_p(S^2,\gkan)$
(vgl.\ Aufgabe 2).
\end{enumerate}   
\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  14.\ Dezember in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}










