Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ WS 1998/99 bei Prof. C. Bär Blatt 9 7. Dezember 1998

1 Sei M eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, c: I → M eine glatte Kurve, φ: J → I eine glatte Parametertransformation. Sei X ein glattes Vektorfeld längs c.

(a) Zeigen Sie: Y = X ∘ φ ist ein glattes Vektorfeld längs c ∘ φ und es gilt

\frac{∇}{dt} Y (t) = φ̇(t) · (\frac{∇}{ds}X) (φ(t))
\frac{∇^{2}}{dt^{2}} Y (t) = φ̈(t) · (\frac{∇}{ds}X) (φ(t)) + φ̇(t)^{2} · (\frac{∇^{2}}{ds^{2}} X) (φ(t))

Dabei haben wir den Parameter in I mit s und den in J mit t bezeichnet.

(b) Zeigen Sie, daß für die Parallelverschiebung gilt:

P_{t_{1},t_{2}}^{c∘φ} = P_{φ(t_{1}),φ(t_{2})}^{c}

(c) Sei nun c eine nicht-konstante Geodätische. Zeigen Sie: c∘φ ist ebenfalls eine Geodätische genau dann, wenn φ von der Form φ(t) = t_{0} + α · t ist, t_{0}, α ∈ ℝ.

2 Sei S^{2} ⊂ ℝ^{3} die 2-Sphäre mit der Standardmetrik g_{kan}. Sei c der Breitenkreis auf S^{2} gegeben durch die Höhe x^{3} = konstant. Verschiebt man Tangentialvektoren parallel längs c (ein Umlauf), so werden sie um den Winkel ϑ gedreht. Berechnen Sie ϑ in Abhängigkeit von x^{3} und der Umlaufsrichtung.

3 Sei M = ℝ^{2} − {(0, 0)} = ℂ^{∗} und g = g_{eukl}. Sei k ∈ ℕ, k ≥ 2. Wir erklären eine Äquivalenzrelation auf ℂ^{∗} wie folgt:

z ∼ w ⟺ ∃m ∈ ℤ : z = e^{\frac{2πim}{k}} · w.

(a) Zeigen Sie: M/ ∼ mit der Quotiententopologie besitzt eine Struktur als differenzierbare Mannigfaltigkeit, so daß die Restklassenprojektion π : M → M/ ∼ ein lokaler Diffeomorphismus ist.

(b) Zeigen Sie: M/ ∼ besitzt genau eine Riemannsche Metrik ḡ, so daß

π : (M, g_{eukl}) → (M/ ∼, ḡ)

eine lokale Isometrie ist.

(c) Berechnen Sie die Parallelverschiebung P_{0,(2π/k)}^{c}, wobei c(t) = [e^{it}] ist.

(d) Illustrieren Sie (c) im Fall k = 3 durch ein Papiermodell.

4 Sei (M, g) eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die Parallelverschiebung kann auch längs stetiger, stückweise glatter Kurven in M definiert werden. Ist nämlich c : [a, b] → M stetig, a = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{N} = b eine Unterteilung und c|_{[t_{i},t_{i+1}]} glatt für alle i = 0, …, N − 1, so setzt man einfach

P_{a,b}^{c} := P_{t_{N−1},t_{N}}^{c} ∘ ⋯ ∘ P_{t_{1},t_{2}}^{c} ∘ P_{t_{0},t_{1}}^{c}.

Zu jedem p ∈ M definiert man die Holonomiegruppe Hol_{p}(M, g) von M in p durch

Hol_{p}(M, g) := {P_{a,b}^{c} | c : [a, b] → M stetige, stückweise glatte Kurve mit c(a) = c(b) = p} .

(a) Zeigen Sie: Hol_{p}(M, g) ist Untergruppe der orthogonalen Gruppe O(T_{p}M, g_{p}).

(b) Berechnen Sie Hol_{p}(ℝ^{n}, g_{eukl}), Hol_{p}(ℝ^{n}, g_{Mink}) und Hol_{p}(S^{2}, g_{kan}) (vgl. Aufgabe 2).

Abgabe: Montag, 14. Dezember in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo