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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"'}
    
    {\bf WS 1998/99 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 8  \hfill  30.\ November 1998}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a 
Berechnen Sie die Christoffelsymbole des Levi-Civita-Zusammenhangs f\"ur 
\begin{enumerate}[(a)]
\item die Standardmetrik $g_{\textrm{kan}}$ auf $S^2$ in Polarkoordinaten
(vergleiche \"Ubungsblatt~7, Aufgabe~1),
\item die hyperbolische Metrik $g_{\textrm{hyp}}$ auf $H^n$ in der Karte von 
\"Ubungsblatt~7, Aufgabe~2.
\end{enumerate}

\a
\emph{Transformationsformel f\"ur Christoffelsymbole.}
Sei $M$ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, seien $x\colon U\to V$, 
$y\colon \witi U \to \witi V$ zwei Karten von $M$, seien $g_{ij}$ bzw.\ $\ti g_{ij}$
die Koordinatendarstellungen der semi-Riemannschen Metrik und
$\Ga_{ij}^k$ bzw.\ 
$\witi\Ga_{ij}^k$ die Christoffelsymbole des Levi-Civita-Zusammenhangs 
bez\"uglich dieser Karten.\newline 
Zeigen Sie:
  $$\sum_k\Ga_{ij}^k \,g_{kv} = \sum_{t,s}\frac{\pa y^t}{\pa x^v}\, 
    \frac{\pa^2 y^s}{\pa x^j\,\pa x^i}\,\ti g_{st} + 
    \sum_{r,s,t,w}\frac{\pa y^r}{\pa x^i}\,\frac{\pa y^s}{\pa x^j}\,\frac{\pa y^w}{\pa x^v}\,
    \witi\Ga_{rs}^t \, \ti g_{tw}$$

\a
Sei~$(M,g)$ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit und~$f\colon M\to\mR$
eine~$C^\infty$-Funktion.
Eine Basis~$E_1$, \dots, $E_n$ von~$T_pM$ f\"ur~$p\in M$
hei\ss t {\em Orthonormalbasis,\/}
falls~$g_p(E_i,E_j)=0$ f\"ur~$i\ne j$ und~$g_p(E_i,E_i)=\ep_i=\pm 1$.
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Es gibt genau ein $C^\infty$-Vektorfeld~$\grad f$ auf~$M$,
so da\ss\ f\"ur alle $C^\infty$-Vektorfelder~$X$ gilt:
	$$g(\grad f,X)=\pa_Xf\;.$$
$\grad f$ hei\ss t {\em Gradientenvektorfeld\/} von~$f$.
\item
F\"ur eine Orthonormalbasis~$E_1$, \dots, $E_n$ von~$T_pM$ gilt:
	$$\grad f(p)=\sum_{i=1}^n\ep_i\pa_{E_i}f\cdot E_i\;.$$
\item
In lokalen Koordinaten gilt:
	$$\grad f
	=\sum_{i,j=1}^ng^{ij}\cdot{\pa f\over\pa x^i}\cdot b_{x^j}\;,$$
dabei ist~$\bigl(g^{ij}(p)\bigr)_{i,j}$ die zu~$\bigl(g_{ij}(p)\bigr)_{i,j}$
inverse Matrix.
\end{enumerate}

\pagebreak
\a
Sei~$M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang~$\nabla$.
Wir definieren den {\em Torsionstensor\/}
	$$\tau\colon C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM)\to C^\infty(M,TM)$$
durch
	$$\tau(X,Y):=[X,Y]-\nabla_XY+\nabla_YX\;.$$
Zeigen Sie,
da\ss\ f\"ur~$p\in M$ der Wert~$\tau(X,Y)(p)$
nur von~$X(p)$ und~$Y(p)$ abh\"angt.


\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag, 7.\ Dezember in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}









