Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ WS 1998/99 bei Prof. C. Bär Blatt 8 30. November 1998

1 Berechnen Sie die Christoffelsymbole des Levi-Civita-Zusammenhangs für

(a) die Standardmetrik g_{kan} auf S^{2} in Polarkoordinaten (vergleiche Übungsblatt 7, Aufgabe 1),

(b) die hyperbolische Metrik g_{hyp} auf H^{n} in der Karte von Übungsblatt 7, Aufgabe 2.

2 Transformationsformel für Christoffelsymbole. Sei M eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, seien x: U → V, y: Ũ → Ṽ zwei Karten von M, seien g_{ij} bzw. g̃_{ij} die Koordinatendarstellungen der semi-Riemannschen Metrik und Γ_{ij}^{k} bzw. Γ̃_{ij}^{k} die Christoffelsymbole des Levi-Civita-Zusammenhangs bezüglich dieser Karten. Zeigen Sie:

∑_{k} Γ_{ij}^{k} g_{kv} = ∑_{t,s} \frac{∂y^{t}}{∂x^{v}} \frac{∂^{2}y^{s}}{∂x^{j} ∂x^{i}} g̃_{st} + ∑_{r,s,t,w} \frac{∂y^{r}}{∂x^{i}} \frac{∂y^{s}}{∂x^{j}} \frac{∂y^{w}}{∂x^{v}} Γ̃_{rs}^{t} g̃_{tw}

3 Sei (M, g) eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit und f: M → ℝ eine C^{∞}-Funktion. Eine Basis E_{1}, …, E_{n} von T_{p}M für p ∈ M heißt Orthonormalbasis, falls g_{p}(E_{i}, E_{j}) = 0 für i ≠ j und g_{p}(E_{i}, E_{i}) = ε_{i} = ±1. Zeigen Sie:

(a) Es gibt genau ein C^{∞}-Vektorfeld grad f auf M, so daß für alle C^{∞}-Vektorfelder X gilt:

g(grad f, X) = ∂_{X}f .

grad f heißt Gradientenvektorfeld von f.

(b) Für eine Orthonormalbasis E_{1}, …, E_{n} von T_{p}M gilt:

grad f(p) = ∑_{i=1}^{n} ε_{i}∂_{E_{i}}f · E_{i} .

(c) In lokalen Koordinaten gilt:

grad f = ∑_{i,j=1}^{n} g^{ij} · \frac{∂f}{∂x^{i}} · b_{x^{j}} ,

dabei ist (g^{ij}(p))_{i,j} die zu (g_{ij}(p))_{i,j} inverse Matrix.

4 Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang ∇. Wir definieren den

Torsionstensor

τ: C^{∞}(M, T M) × C^{∞}(M, T M) → C^{∞}(M, T M)

durch

τ(X, Y) := [X, Y] − ∇_{X}Y + ∇_{Y} X .

Zeigen Sie, daß für p ∈ M der Wert τ(X, Y)(p) nur von X(p) und Y (p) abhängt.

Abgabe: Montag, 7. Dezember in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo