\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{german}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\pagestyle{empty}
\addtolength{\topmargin}{-1.7cm}
\addtolength{\textheight}{3cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1.0cm}
\addtolength{\textwidth}{2.7cm}
\addtolength{\leftmargini}{-0.5cm}
\addtolength{\leftmarginii}{-0.2cm}
\parskip0.5ex
\parindent0em
\frenchspacing
\sloppy

\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"'}
    
    {\bf WS 1998/99 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 7  \hfill  23.\ November 1998}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a
Dr\"ucken Sie die Standardmetrik $g_{\mathrm{kan}}$ von $S^2$ in Polarkoordinaten aus, 
d.\thinspace h.\ in der Karte ${\Phi:U\to V}$, wobei
\begin{eqnarray*}
	U&=&
		S^2-\bigl\{\,(x,y,z)\in\mR^3\bigm|
			\hbox{$x\ge0$, $y=0$}\,\bigr\}\;,\\
	\Phi^{-1}(\phi,\theta)&=&
		(\cos\phi\cdot\sin\theta,
		\sin\phi\cdot\sin\theta,
		\cos\theta)\;,\\
	V&=&
	(0,2\pi)\times(0,\pi)\;.
\end{eqnarray*}

\a
Sei $g_{\mathrm{hyp}}$ die hyperbolische Metrik auf $H^n\subset \mR^{n+1}$,
d.\thinspace h.\ die 1.~Fundamentalform bzgl.\ der Minkowski-Metrik 
$g_{\mathrm{Mink}}$. Sei $g$ die 1.~Fundamentalform, die $H^n$ erh\"alt,
wenn $\mR^{n+1}$ statt der Minkowski-Metrik die euklidische Metrik 
$g_{\mathrm{eukl}}$ tr\"agt.
Dr\"ucken Sie beide Riemannsche Metriken $g_{\mathrm{hyp}}$ und $g$ 
in der Karte $\ph:H^n\to \mR^n$, $\ph(x_1,\dots,x_{n+1})=(x_1,\dots,x_n)$ aus.

\a
Seien $S_\nu^n=S_\nu^n(1)$ und $H_\nu^n=H_\nu^n(1)$ die \emph{Pseudosp\"are}
bzw.\ der \emph{pseudohyperbolische Raum} vom Radius 1 wie definiert in O'Neill,
Seite~110.
\begin{enumerate}[(a)]
\item 
Zeigen Sie $S_\nu^n$ und $H_\nu^n$ sind semi-Riemannsche Untermannigfaltigkeiten von 
$\mR^{n+1}$ (mit der entsprechenden semi-Riemannschen Metrik).
\item 
Was ist der Index der 1.~Fundamentalform von $S_\nu^n$ und $H_\nu^n$?
\item Zeigen Sie: $S_\nu^n$ ist diffeomorph zu $\mR^\nu\times S^{n-\nu}$ 
und $H_\nu^n$ ist diffeomorph zu $S^\nu\times \mR^{n-\nu}$.
\end{enumerate}

\a 
Zeigen Sie:
  $$\mathrm{Isom}(\mR P^n,g_{\mathrm{kan}})\cong \mathrm{O}(n+1)/\{\IdMat_{n+1},-\IdMat_{n+1}\}$$
\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  30. November in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}









