Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ WS 1998/99 bei Prof. C. Bär Blatt 7 23. November 1998

1 Drücken Sie die Standardmetrik g_{kan} von S^{2} in Polarkoordinaten aus, d. h. in der Karte Φ : U → V, wobei

U = S^{2} − { (x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x ≥ 0, y = 0 } ,
Φ^{−1}(φ, θ) = (cos φ · sin θ, sin φ · sin θ, cos θ) ,
V = (0, 2π) × (0, π) .

2 Sei g_{hyp} die hyperbolische Metrik auf H^{n} ⊂ ℝ^{n+1}, d. h. die 1. Fundamentalform bzgl. der Minkowski-Metrik g_{Mink}. Sei g die 1. Fundamentalform, die H^{n} erhält, wenn ℝ^{n+1} statt der Minkowski-Metrik die euklidische Metrik g_{eukl} trägt. Drücken Sie beide Riemannsche Metriken g_{hyp} und g in der Karte φ : H^{n} → ℝ^{n}, φ(x_{1}, …, x_{n+1}) = (x_{1}, …, x_{n}) aus.

3 Seien S_{ν}^{n} = S_{ν}^{n}(1) und H_{ν}^{n} = H_{ν}^{n}(1) die Pseudospäre bzw. der pseudohyperbolische Raum vom Radius 1 wie definiert in O’Neill, Seite 110.

(a) Zeigen Sie S_{ν}^{n} und H_{ν}^{n} sind semi-Riemannsche Untermannigfaltigkeiten von ℝ^{n+1} (mit der entsprechenden semi-Riemannschen Metrik).

(b) Was ist der Index der 1. Fundamentalform von S_{ν}^{n} und H_{ν}^{n}?

(c) Zeigen Sie: S_{ν}^{n} ist diffeomorph zu ℝ^{ν} × S^{n−ν} und H_{ν}^{n} ist diffeomorph zu S^{ν} × ℝ^{n−ν}.

4 Zeigen Sie:

Isom(ℝP^{n}, g_{kan}) ≅ O(n + 1)/{11_{n+1}, −11_{n+1}}

Abgabe: Montag, 30. November in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo