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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"'}
    
    {\bf WS 1998/99 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 6  \hfill  16.\ November 1998}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a
Seien~$M$, $N$, $P$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension~$m$, $n$
bzw.~$p$.
Seien~$f\colon M\to N$ und~$g\colon N\to P$ $C^\infty$-Abbildungen.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr (Beweis bzw.\ Gegenbeispiel)?
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Ist $x\in M$ regul\"arer Punkt von~$f$,
so ist~$f(x)$ regul\"arer Wert von~$f$.
\item
Ist~$f^{-1}(y)$ eine~$(m-n)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von~$M$,
so ist~$y$ ein regul\"arer Wert von~$f$.
\item
Ist~$x$ ein regul\"arer Punkt von~$f$ und ist~$f(x)$ ein regul\"arer Punkt
von~$g$,
so ist~$x$ ein regul\"arer Punkt von~$g\circ f$.
\end{enumerate}

\a
Sei~$M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension~$m\ge1$
und~$f\colon M\to\mR$ eine $C^\infty$-Funktion.
Zeigen Sie
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Ist~$M$ kompakt und hat~$f$ nur einen kritischen Wert,
so ist~$f$ konstant.
\textit{Hinweis:}
Betrachten Sie Minimum und Maximum von~$f$.
\item
Es gibt nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten~$M$,
so da\ss~$f$ auch genau einen oder auch gar keinen kritischen Wert haben kann,
ohne konstant zu sein.
\end{enumerate}


\a
Begr\"unden Sie f\"ur folgende Teilmengen $M\subset \mR^n$, warum sie 
Untermannigfaltigkeiten des $\mR^n$ sind.
Bestimmen Sie ferner f\"ur alle $p\in M$ die Tangentialr\"aume $T_pM$, genauer die Untervektorr\"aume
des $\mR^n$, die dem $T_pM$ nach kanonischer Einbettung entsprechen:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $M=S^k\times \mR^l$, $k+l+1=n$
\item $M=\left\{ x\in \mR^n \,|\, 1+x_1^2= x_2^2+ \cdots + x_n^2\right\}$
\item $M=\left\{(x,y,z,w)\in \mR^4\,|\,x^2+2xy + 2 y^2 =1,\; z+w=0\right\}$
\end{enumerate} 

\a \textit{Parametrisierung nach der Bogenl\"ange.}
Sei $M$ eine $1$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit. 
Zeigen Sie, da\ss{} $M$ einen $C^\infty$-Atlas $\cA$ besitzt, so da\ss{} f\"ur 
jede Karte $\ph:U\to V$ aus $\cA$ die lokale Darstellung der Riemannschen Metrik
  $$g_{11}:V\to \mR$$
gerade $g_{11}\equiv 1$ erf\"ullt.

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  23.\ November in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}









