Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ WS 1998/99 bei Prof. C. Bär Blatt 6 16. November 1998

1 Seien M, N, P differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension m, n bzw. p. Seien f: M → N und g: N → P C^{∞}-Abbildungen. Welche der folgenden Aussagen sind wahr (Beweis bzw. Gegenbeispiel)?

(a) Ist x ∈ M regulärer Punkt von f, so ist f(x) regulärer Wert von f.

(b) Ist f^{−1}(y) eine (m−n)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von M, so ist y ein regulärer Wert von f.

(c) Ist x ein regulärer Punkt von f und ist f(x) ein regulärer Punkt von g, so ist x ein regulärer Punkt von g ∘ f.

2 Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension m ≥ 1 und f: M → ℝ eine C^{∞}-Funktion. Zeigen Sie

(a) Ist M kompakt und hat f nur einen kritischen Wert, so ist f konstant. Hinweis: Betrachten Sie Minimum und Maximum von f.

(b) Es gibt nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten M, so daß f auch genau einen oder auch gar keinen kritischen Wert haben kann, ohne konstant zu sein.

3 Begründen Sie für folgende Teilmengen M ⊂ ℝ^{n}, warum sie Untermannigfaltigkeiten des ℝ^{n} sind. Bestimmen Sie ferner für alle p ∈ M die Tangentialräume T_{p}M, genauer die Untervektorräume des ℝ^{n}, die dem T_{p}M nach kanonischer Einbettung entsprechen:

(a) M = S^{k} × ℝ^{l}, k + l + 1 = n

(b) M = {x ∈ ℝ^{n} | 1 + x_{1}^{2} = x_{2}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}}

(c) M = {(x, y, z, w) ∈ ℝ^{4} | x^{2} + 2xy + 2y^{2} = 1, z + w = 0}

4 Parametrisierung nach der Bogenlänge. Sei M eine 1-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, daß M einen C^{∞}-Atlas A besitzt, so daß für jede Karte φ : U → V aus A die lokale Darstellung der Riemannschen Metrik

g_{11} : V → ℝ

gerade g_{11} ≡ 1 erfüllt.

Abgabe: Montag, 23. November in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo