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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"'}
    
    {\bf WS 1998/99 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 5  \hfill  9.\ November 1998}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a
Bestimmen Sie zum Vektorfeld $X$ auf $M$ die Integralkurven, entscheiden Sie, ob $X$ vollst\"andig ist, und geben Sie gegebenenfalls den Flu\ss{} an.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $M=\mR^2$, $X(x,y)=x\cdot b_x(x,y) + y\cdot b_y(x,y)$,
      wobei $(x,y)$ die kartesischen Koordinaten auf $\mR^2$ sind.
\item $M=\mR^2\ohne \{(0,0)\}$, $X(x,y)=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \|(x,y)\|^2}
      \Big(x\cdot b_x(x,y) + y\cdot b_y(x,y)\Big)$
\end{enumerate}

\a Welche der folgenden Teilmengen von $\mR^3$ sind Untermannigfaltigkeiten? 
(Begr\"undung?)
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\mZ^3$
\item $\mQ^3$
\item $\mZ\times \mR^2$
\item Doppelkegel: $N:=\left\{(x,y,z)\in \mR^3\,|\,z^2=x^2+y^2\right\}$
\end{enumerate}

\a
Seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten, 
sei $\Phi:M\to N$ eine glatte Abbildung.
Zwei Vektorfelder $X$ auf $M$ und $Y$ auf $N$ hei\ss{}en $\Phi$-{\em verwandt},
falls f\"ur alle $p\in M$ gilt:
  $$d_p\Phi \big(X(p)\big)= Y\big(\Phi(p)\big).$$
Seien nun $X_i$ und $Y_i$ $\Phi$-verwandt, $i=1,2$.
Zeigen Sie: $[X_1,X_2]$ und $[Y_1,Y_2]$ sind ebenfalls $\Phi$-verwandt.

\a
Sei $X$ ein vollst\"andiges glattes Vektorfeld auf $M$ mit Flu\ss{} $\ph_t$,
sei $Y$ ein weiteres glattes Vektorfeld auf $M$.
Die {\em Lie-Ableitung} von $Y$ nach $X$ ist definiert durch
\begin{eqnarray*}
  \left(\cL_X Y\right)(p) & = & \lim_{t\to 0} \frac{d_{\ph_t(p)}\ph_{-t} 
          \left(Y\bigl(\ph_t(p)\right)\bigr)-Y(p)}{t}\\
   & = & \frac{d}{dt} \;d_{\ph_t(p)}\ph_{-t} \Bigl(Y\left(\ph_t(p)\right)\bres{\Big)}{t=0}
\end{eqnarray*}
Beachten Sie dabei, da\ss{} f\"ur alle $t$ der Tangentialvektor 
$d_{\ph_t(p)}\ph_{-t} \left(Y\bigl(\ph_t(p)\right)\bigr)$ im selben 
Tangentialraum $T_pM$ liegt,
so da\ss{} die Definition sinnvoll ist.
Zeigen Sie:
  $$\cL_X Y=[X,Y].$$


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\vspace\fill
Abgabe: Montag,  16. November in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}
















