Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ WS 1998/99 bei Prof. C. Bär Blatt 5 9. November 1998

1 Bestimmen Sie zum Vektorfeld X auf M die Integralkurven, entscheiden Sie, ob X vollständig ist, und geben Sie gegebenenfalls den Fluß an.

(a) M = ℝ^{2}, X(x, y) = x · b_{x}(x, y) + y · b_{y}(x, y), wobei (x, y) die kartesischen Koordinaten auf ℝ^{2} sind.

(b) M = ℝ^{2} − \{(0, 0)\}, X(x, y) = \frac{1}{∥(x, y)∥^{2}} (x · b_{x}(x, y) + y · b_{y}(x, y))

2 Welche der folgenden Teilmengen von ℝ^{3} sind Untermannigfaltigkeiten? (Begründung?)

(a) ℤ^{3}

(b) ℚ^{3}

(c) ℤ × ℝ^{2}

(d) Doppelkegel: N := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | z^{2} = x^{2} + y^{2}}

3 Seien M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten, sei Φ : M → N eine glatte Abbildung. Zwei Vektorfelder X auf M und Y auf N heißen Φ-verwandt, falls für alle p ∈ M gilt:

d_{p}Φ(X(p)) = Y (Φ(p)).

Seien nun X_{i} und Y_{i} Φ-verwandt, i = 1, 2. Zeigen Sie: [X_{1}, X_{2}] und [Y_{1}, Y_{2}] sind ebenfalls Φ-verwandt.

4 Sei X ein vollständiges glattes Vektorfeld auf M mit Fluß φ_{t}, sei Y ein weiteres glattes Vektorfeld auf M. Die Lie-Ableitung von Y nach X ist definiert durch

(L_{X}Y) (p) = lim_{t→0} \frac{d_{φ_{t}(p)}φ_{−t} (Y (φ_{t}(p))) − Y (p)}{t}
= \frac{d}{dt} d_{φ_{t}(p)}φ_{−t}(Y (φ_{t}(p)) )|_{t=0}

Beachten Sie dabei, daß für alle t der Tangentialvektor d_{φ_{t}(p)}φ_{−t} (Y (φ_{t}(p))) im selben Tangentialraum T_{p}M liegt, so daß die Definition sinnvoll ist. Zeigen Sie:

L_{X}Y = [X, Y].

Abgabe: Montag, 16. November in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo