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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"'}
    
    {\bf WS 1998/99 bei Prof.\ C.\ B\"ar}

    Blatt 4  \hfill  2.\ November 1998}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\textbf{Neue \"Ubungsgruppe: Freitag 14--16 Uhr, SR 218, Eckerstr.\ 1}
\vspace{1ex}
\a
Sei $X$ das Vektorfeld auf~$\mR^3$,
das in der Karte~$\id:\mR^3\to \mR^3$,
d.h.\ in kartesischen Koordinaten,
der konstanten Abbildung
	$$\xi\colon\mR^3\to\mR^3\;,\qquad
	\xi(x)=(1,1,1)\;,$$
entspricht.
Berechnen Sie die Koordinatendarstellung von~$X$ f\"ur
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Polarkoordinaten, \dh die Karte~$\Phi_1:U_1\to V_1$, wobei
\begin{eqnarray*}
	U_1&=&\mR^3-\bigl\{\,(x,y,z)\in\mR^3\bigm|
		\hbox{$x\ge0$ und $y=0$}\,\bigr\}\;,\\
	V_1&=&\bigl\{\,(r,\phi,\theta)\in\mR^3\bigm|
		\hbox{$r>0$, $0<\phi<2\pi$
			und~$0<\theta<\pi$}\,\bigr\}\;,\\
	\Phi_1^{-1}(r,\phi,\theta)
		&=&(r\cos\phi\sin\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\theta)\;;
\end{eqnarray*}
\item
Zylinderkoordinaten, \dh die Karte~$\Phi_2:U_2\to V_2$, wobei
\begin{eqnarray*}
	U_2&=&U_1\;,\\
	V_2&=&\bigl\{\,(r,\phi,\zeta)\in\mR^3\bigm|
		\hbox{$r>0$ und $0<\phi<2\pi$}\,\bigr\}\;,\\
	\Phi_2^{-1}(r,\phi,\zeta)
		&=&(r\cos\phi,r\sin\phi,\zeta)\;.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\a
Zeigen Sie, da\ss{} $\mR P^n$ und $\mC P^n$ kompakt sind.

Hinweis: Benutzen Sie, da\ss{} Bilder kompakter Mengen unter 
stetigen Abbildungen kompakt sind.

\a
Sei~$M=S^{2n+1}\subset\mC^{n+1}$.
Zu~$p\in S^{2n+1}$ setze
	$$c_p(t)=e^{it}\cdot p\;.$$
Zeigen Sie,
da\ss~$X(p):=[c_p]$ ein nirgends verschwindendes $C^\infty$-Vektorfeld
auf~$M$ ist.

\pagebreak
\a
Sei $H:\mC^2\ohne \{(0,0)\} \to \mC\times \mR$ die Abbildung
  $$H(z_0,z_1)= \frac{1}{4|z_1|^2+|z_0|^2}\, 
    \left( 4|z_1|^2\cdot \frac{z_0}{z_1}\;, 
    \;4 |z_1|^2-|z_0|^2\right).$$
Zeigen Sie 
\begin{enumerate}[(a)]
\item
F\"ur $S^3\subset \mR^4 \ohne \{(0,0,0,0)\}=\mC^2\ohne \{(0,0)\}$ 
und $S^2\subset \mR^3=\mC\times \mR$ gilt $H(S^3)=S^2$ und 
  $$\res{H}{S^3}:S^3\to S^2$$ 
ist eine glatte Abbildung.
Man nennt $\res{H}{S^3}$ die {\em Hopf-Abbildung}.
\item
F\"ur $\pi : \mC^2\ohne\{(0,0)\} \to \mC P^1$, $\pi (z_0,z_1)=[(z_0,z_1)]$,
gibt es genau einen Diffeomorphismus $\ph:\mC P^1\to S^2$, 
so da\ss{} 
  $$\res{H}{S^3}=\ph \circ \res{\pi}{S^3}.$$
\item 
F\"ur das Vektorfeld $X$ aus Aufgabe 3 ($n=1$) berechnen Sie 
$d_p H(X(p))$.
\end{enumerate}

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  9. November in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}









