Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ WS 1998/99 bei Prof. C. Bär Blatt 4 2. November 1998

Neue Übungsgruppe: Freitag 14–16 Uhr, SR 218, Eckerstr. 1

1 Sei X das Vektorfeld auf ℝ^{3}, das in der Karte id : ℝ^{3} → ℝ^{3}, d.h. in kartesischen Koordinaten, der konstanten Abbildung

ξ: ℝ^{3} → ℝ^{3} , ξ(x) = (1, 1, 1) ,

entspricht. Berechnen Sie die Koordinatendarstellung von X für

(a) Polarkoordinaten, d. h. die Karte Φ_{1} : U_{1} → V_{1}, wobei

U_{1} = ℝ^{3} − { (x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x ≥ 0 und y = 0 } ,
V_{1} = { (r, φ, θ) ∈ ℝ^{3} | r > 0, 0 < φ < 2π und 0 < θ < π } ,
Φ_{1}^{−1}(r, φ, θ) = (r cos φ sin θ, r sin φ sin θ, r cos θ) ;

(b) Zylinderkoordinaten, d. h. die Karte Φ_{2} : U_{2} → V_{2}, wobei

U_{2} = U_{1} ,
V_{2} = { (r, φ, ζ) ∈ ℝ^{3} | r > 0 und 0 < φ < 2π } ,
Φ_{2}^{−1}(r, φ, ζ) = (r cos φ, r sin φ, ζ) .

2 Zeigen Sie, daß ℝP^{n} und ℂP^{n} kompakt sind.

Hinweis: Benutzen Sie, daß Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen kompakt sind.

3 Sei M = S^{2n+1} ⊂ ℂ^{n+1}. Zu p ∈ S^{2n+1} setze

c_{p}(t) = e^{it} · p .

Zeigen Sie, daß X(p) := [c_{p}] ein nirgends verschwindendes C^{∞}-Vektorfeld auf M ist.

4 Sei H : ℂ^{2} − {(0, 0)} → ℂ × ℝ die Abbildung

H(z_{0}, z_{1}) = \frac{1}{4|z_{1}|^{2} + |z_{0}|^{2}} (4|z_{1}|^{2} · \frac{z_{0}}{z_{1}} , 4|z_{1}|^{2} − |z_{0}|^{2}) .

Zeigen Sie

(a) Für S^{3} ⊂ ℝ^{4} − {(0, 0, 0, 0)} = ℂ^{2} − {(0, 0)} und S^{2} ⊂ ℝ^{3} = ℂ × ℝ gilt H(S^{3}) = S^{2} und

H|_{S^{3}} : S^{3} → S^{2}

ist eine glatte Abbildung. Man nennt H|_{S^{3}} die Hopf-Abbildung.

(b) Für π : ℂ^{2}−{(0, 0)} → ℂP^{1}, π(z_{0}, z_{1}) = [(z_{0}, z_{1})], gibt es genau einen Diffeomorphismus

φ : ℂP^{1} → S^{2}, so daß

H|_{S^{3}} = φ ∘ π|_{S^{3}}.

(c) Für das Vektorfeld X aus Aufgabe 3 (n = 1) berechnen Sie d_{p}H(X(p)).

Abgabe: Montag, 9. November in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo