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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"' im  WS 1998/99}

    Blatt 3  \hfill  26.\ Oktober 1998}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}



\a
Wir setzen 
$U_i := \bigl\{[x_0,\dots,x_n] \in \mR P^n \bigm| x_i \ne 0 \bigr\}$,
$i = 0,\dots,n$.
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item 
 Die $U_i$ sind offen in $\mR P^n$.
\item 
 Die Abbildungen $\chi_i : U_i \to \mR^n$,
 $
  \chi_i\bigl([ x_0,\dots,x_n]\bigr) =
   \Bigl(\frac{x_0}{x_i}, \frac{x_1}{x_i}, \dots, \frac{x_{i-1}}{x_i},
         \frac{x_{i+1}}{x_i}, \dots, \frac{x_n}{x_i}\Bigr),
 $
 sind wohldefinierte Diffeomorphismen.
\item
 $\cA = \bigl\{ U_i \overset{\chi_i}{\to} \mR^n \bigm| 
              i=0,\dots,n \bigr\}$
 ist ein $\cC^\infty$-Atlas von $\mR P^n$,
 der die Standardstruktur induziert.
\end{enumerate}

\a
\vspace{-5.5ex}
\begin{enumerate}[(a)]
\item
 Zeigen Sie, da"s der $n$-dimensionale Torus $T^n$ diffeomorph ist zu 
 $\underbrace{S^1 \times \dots \times S^1}_{\text{$n$-mal}}$.

 Hinweis:
 Sei $\pi : \mR^n \to T^n$ die Projektion und
 $\phi:\mR^n \to S^1\times\dots\times S^1$,
 $\phi(x) = \Bigl(\bigl(\cos(2\pi x_1),\sin(2\pi x_1)\bigr),\dots,
                  \bigl(\cos(2\pi x_n),\sin(2\pi x_n)\bigr)\Bigr)$.
 Dann gibt es einen wohldefinierten Diffeomorphismus
 $\psi:T^n \to S^1 \times \dots \times S^1$ mit $\phi = \psi \circ \pi$.
\item
 Zeigen Sie, da"s $\mR P^1$ und $S^1$ diffeomorph sind.
 Bemerkung:
 F"ur $n \ge 2$ sind $S^n$ und $\mR P^n$ allerdings nicht diffeomorph.
\end{enumerate}

\a
Berechnen Sie f"ur $f : M \to \mR$ die Richtungsableitung
$\partial_{[c]}f$, wobei
\begin{enumerate}[(a)]
\item
 $M= S^n$, $p,X \in S^n \subset \mR^{n+1}$ mit $X \perp p$,
 $c(t) = \cos t \cdot p + \sin t \cdot X$ und
 $f:S^n \to \mR$, $f(x_0,\dots,x_n) = x_0$.
\item 
 $M=\mR P^n$, $c(t) = [\cos t \cdot p + \sin t \cdot X]$, $p$, $X$ wie in (a),
 und $f\colon\mR P^n \to \mR$, $f\bigl([x_0,\dots,x_n]\bigr) = x_0^2$.
\item
 $M=T^n$, $c(t) = [t,\dots,t]$ und
 $f:T^n\to\mR$, 
 $f\bigl([x_1,\dots,x_n]\bigr) = \sin(2\pi x_i)\cdot\ldots\cdot\sin(2\pi x_n)$.
\end{enumerate}


\a
Berechnen Sie die R"ange der Differentiale $d_p\phi$ und $d_p\psi$ 
f"ur alle $p$, wobei $\phi$ und $\psi$ die Veronese- bzw. Segre-Abbildung
aus Aufgabe~1, "Ubungsblatt~2, sind.

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag,  2. November in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}









