Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ im WS 1998/99 Blatt 3 26. Oktober 1998

1 Wir setzen U_{i} := {[x_{0}, …, x_{n}] ∈ ℝP^{n} | x_{i} ≠ 0}, i = 0, …, n. Zeigen Sie:

(a) Die U_{i} sind offen in ℝP^{n}.

(b) Die Abbildungen χ_{i} : U_{i} → ℝ^{n}, χ_{i}([x_{0}, …, x_{n}]) = (\frac{x_{0}}{x_{i}} , \frac{x_{1}}{x_{i}} , …, \frac{x_{i−1}}{x_{i}} , \frac{x_{i+1}}{x_{i}} , …, \frac{x_{n}}{x_{i}} ), sind wohldefinierte Diffeomorphismen.

(c) A = {U_{i} →^{χ_{i}} ℝ^{n} | i = 0, …, n} ist ein C^{∞}-Atlas von ℝP^{n}, der die Standardstruktur induziert.

2

(a) Zeigen Sie, daß der n-dimensionale Torus T^{n} diffeomorph ist zu \underbrace{S^{1} × ⋯ × S^{1}}_{n-mal}.

Hinweis: Sei π : ℝ^{n} → T^{n} die Projektion und φ : ℝ^{n} → S^{1} × ⋯ × S^{1}, φ(x) = ((cos(2πx_{1}), sin(2πx_{1})), …, (cos(2πx_{n}), sin(2πx_{n}))). Dann gibt es einen wohldefinierten Diffeomorphismus ψ : T^{n} → S^{1} × ⋯ × S^{1} mit φ = ψ ∘ π.

(b) Zeigen Sie, daß ℝP^{1} und S^{1} diffeomorph sind. Bemerkung: Für n ≥ 2 sind S^{n} und ℝP^{n} allerdings nicht diffeomorph.

3 Berechnen Sie für f : M → ℝ die Richtungsableitung ∂_{[c]}f, wobei

(a) M = S^{n}, p, X ∈ S^{n} ⊂ ℝ^{n+1} mit X ⊥ p, c(t) = cos t · p + sin t · X und f : S^{n} → ℝ, f(x_{0}, …, x_{n}) = x_{0}.

(b) M = ℝP^{n}, c(t) = [cos t·p+sin t·X], p, X wie in (a), und f: ℝP^{n} → ℝ, f([x_{0}, …, x_{n}]) = x_{0}^{2}.

(c) M = T^{n}, c(t) = [t, …, t] und f : T^{n} → ℝ, f([x_{1}, …, x_{n}]) = sin(2πx_{i}) · . . . · sin(2πx_{n}).

4 Berechnen Sie die Ränge der Differentiale d_{p}φ und d_{p}ψ für alle p, wobei φ und ψ die Veronesebzw. Segre-Abbildung aus Aufgabe 1, Übungsblatt 2, sind.

Abgabe: Montag, 2. November in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo