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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"' im  WS 1998/99}

    Blatt 2  \hfill  19.\ Oktober 1998}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}



\a
Zeigen Sie, da"s folgende Abbildungen wohldefiniert und glatt sind:
\begin{enumerate}[(a)]
\item 
 \emph{Veronese-Abbildung}:
 $\phi: \mR P^2 \to \mR^6$,
 $\phi\bigl([x_0,x_1,x_2]\bigr)= (x_0^2,x_1^2,x_2^2,x_0x_1,x_0x_2,x_1x_2)$.
\item 
 \emph{Segre-Abbildung}:
 $\psi: \mR P^2 \times \mR P^2 \to \mR P^8$,
 $$\psi\bigl([x_0,x_1,x_2],[y_0,y_1,y_2]\bigr) = 
       [x_0y_0,x_0y_1, \dots,x_iy_j,\dots,x_2y_2].$$
\end{enumerate}

\a
Zeigen Sie, da"s folgende Mengen $\mathcal G$ Pseudogruppen auf dem $\mR^n$
bilden:
\begin{enumerate}[(a)]
\item
 $\cG = \mathbf{Vol} = 
  \{g \in \cC^\infty \mid \lvert \det(Dg)\rvert \equiv 1 \}$.
 Hier bezeichnet $Dg$ die Jacobi-Matrix von $g$.
 $\mathbf{Vol}$-Mannigfaltigkeiten hei"sen 
 \emph{differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Ma"s}.
\item
 $\cG = \mathbf{Orient} =
  \{g \in \cC^\infty \mid \det(Dg) > 0 \}$.
 $\mathbf{Orient}$-Mannigfaltigkeiten hei"sen
 \emph{orientierte Mannigfaltigkeiten}.
\item
 Wir zerlegen $\mR^n = \mR^m \times \mR^k$, $n=m+k$, und schreiben
 $(x,y)=(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_k) \in \mR^{m+k}$.

 $\cG = \mathbf{Lin}_k = 
   \bigl\{g \in \cC^\infty \bigm| g(x,y) = \bigl(g_1(x), A(x) \cdot y \bigr),
     A(x) \in GL(k),\quad g_1$ lokaler Diffeomorphismus $\bigr\}$.\newline
 In Worten:
 Wir betrachten die Diffeomorphismen, die linear in $y$ sind.
 Spezielle $\mathbf{Lin}_k$-Mannigfaltigkeiten werden uns als
 \emph{Vektorb"undel} sp"ater noch begegnen.
\end{enumerate}

\a
Sei $X$ eine $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
Sei $\cG$ die triviale Pseudogruppe auf $\mR^n$.
Zeigen Sie f\"ur die folgenden Aussagen die Implikationen 
(i)$\LRA$(ii)$\RA$(iii):
\begin{enumerate}[(i)]
\item
 $X$ ist hom"oomorph zu einer offenen Teilmenge des $\mR^n$.
\item 
 $X$ besitzt einen Atlas mit genau einer Karte.
\item
 $X$ besitzt eine $\cG$-Struktur.
\end{enumerate}


\a
Ein topologischer Raum $(X,\cO)$ hei"st \emph{zusammenh"angend},
falls er \textbf{nicht} in zwei disjunkte offene nichtleere Teilmengen zerlegt
werden kann,
d.\,h. aus $X = U_1 \cup U_2$, $U_i \in \cO$, $U_1 \cap U_2 = \emptyset$,
folgt $U_1 = \emptyset$ oder $U_2 = \emptyset$.
Er hei"st \emph{wegzusammenh"angend}, falls sich je zwei Punkte $p,q \in X$
durch einen stetigen Weg verbinden lassen, d.\,h. es gibt eine stetige
Abbildung $c:[0,1] \to X$ mit $c(0) = p$ und $c(1) = q$.

Zeigen Sie, da"s eine topologische Mannigfaltigkeit genau dann zusammenh"angend
ist, wenn sie wegzusammenh"angend ist.
Welche Implikation gilt f"ur alle topologischen R"aume?

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Montag, 26. Oktober in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}









